Διαιρετότητα και Επιμεριστική ιδιότητα

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{k}$ , ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{4^{10}+4^{9}+k.4^{8}}$ να διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ .

Στη συνέχεια, για την τιμή αυτή του $\displaystyle{k}$ , να αναλύσετε τον πιο πάνω αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

kkala · #2

Εξάγοντας σαν κοινό παράγοντα τον $4^{8}$ από τον εν λόγω αριθμό και εκτελώντας τις πράξεις, βρίσκουμε
$\displaystyle{4^{10}+4^{9}+k.4^{8}} = 4^8(4^2+4+k)=2^{16}(20+k)$
Για να διαιρείται αυτός ο αριθμός με το $9=3^{2}$ , πρέπει (και αρκεί) να περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες του 9 και κανένα με μικρότερο εκθέτη. Ἀρα ο παράγοντας 20+k

πρέπει να διαρείται με το $3^{2}$ . Το ελάχιστο k που ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη είναι k=7, οπότε ο αριθμός αναλύεται σε $2^{16}3^{3}$ .

Διαιρετότητα και Επιμεριστική ιδιότητα

Διαιρετότητα και Επιμεριστική ιδιότητα

Re: Διαιρετότητα και Επιμεριστική ιδιότητα

Μέλη σε σύνδεση