Τριώνυμο με ρίζα σε διάστημα και ελάχιστη τιμή παράστασης

#1

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)=\alpha x^{2}+\left( 2b+1 \right)x-\alpha-2$ όπου $\alpha, b \in \mathbb{R}, \alpha \ne 0$ .
Αν είναι γνωστό πως η συνάρτηση αυτή έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα $\left[ 3,4 \right]$ .
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\alpha^2+b^2$ .

Υ.Γ: Δε μπορώ να χρησιμοποιήσω το equation editor. Κάνω κάτι λάθος; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

Έστω

μια ρίζα της

σε αυτό το διάστημα. Τότε από Cauchy-Schwarz έχουμε

$\displaystyle (a^2+b^2)(t^2+1)^2 = (a^2+b^2)((t^2-1)^2+(2t)^2) \geqslant (a(t^2-1)+2bt)^2 = (2-t)^2$

Άρα

$\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \left(\frac{t-2}{t^2+1}\right)^2 \geqslant \frac{1}{100}$

αφού

$\displaystyle \frac{t-2}{t^2+1} \geqslant \frac{1}{10} \iff 10t-20 \geqslant t^2+1 \iff (t-7)(t-3) \leqslant 0$

με την τελευταία ανισότητα να ισχύει αφού $t \in [3,4]$ .

Μένει να δείξουμε ότι το $\frac{1}{100}$ είναι το βέλτιστο. Πράγματι αυτό ισχύει αφού για a = -4/50

και

από τη μία έχουμε a^2+b^2 = 5^2/50^2 = 1/100

και από την άλλη έχουμε f(3) = 8a+6b+1 = 0

.

Τριώνυμο με ρίζα σε διάστημα και ελάχιστη τιμή παράστασης

Τριώνυμο με ρίζα σε διάστημα και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριώνυμο με ρίζα σε διάστημα και ελάχιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση