Επίλυση εξίσωσης με τη βοήθεια ανίσωσης;

#1

Να επιλύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση:

$\sqrt{3-\tan^{2}\left ( \frac{3\pi x}{2} \right )}sin\pi x-cos\pi x=2$

#2

Έχουμε (στα σημεία όπου η εξίσωση έχει νόημα) ότι

$\displaystyle \displaystyle{\left|\sqrt{3-\tan^{2}\left ( \frac{3\pi x}{2} \right )}\sin\pi x-\cos\pi x\right| \leqslant \sqrt{3}|\sin{\pi x}| + |\cos{\pi x}| \leqslant \sqrt{ (3+1)(\sin^2{\pi x} + \cos^2{\pi x})} = 2}$

Για την ισότητα πρέπει $\displaystyle |\cos{\pi x}| = \frac{|\sin{\pi x}|}{\sqrt{3}}$ . Τότε $\displaystyle |\tan(\pi x)| = \sqrt{3}$ που δίνει $x = n \pm 1/3$ με $n \in \mathbb{Z}$ .

Για

άρτιο η εξίσωση δεν έχει νόημα επειδή δεν ορίζεται το $\displaystyle \tan^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)$ . Για n=2m+1

περιττό έχουμε $\displaystyle \tan^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0, \sin{\pi x} = \mp \sqrt{3}/2$ και $\displaystyle \cos(\pi x) = -1/2$

Άρα πρέπει x = 2n+2/3

όπου $n \in \mathbb{Z}$ .

Επίλυση εξίσωσης με τη βοήθεια ανίσωσης;

Επίλυση εξίσωσης με τη βοήθεια ανίσωσης;

Re: Επίλυση εξίσωσης με τη βοήθεια ανίσωσης;

Μέλη σε σύνδεση