Κωνικές και γεωμετρία

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται ο κύκλος x^2+y^2 = 1

και η έλλειψη x^2+4y^2=4

.

Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες που φέρονται απ' τις εστίες της έλλειψης προς τον κύκλο σχηματίζουν ρόμβο.
Αν $\mathrm{E}_1$ το εμβαδόν του του παραπάνω ρόμβου και $\mathrm{E}_2$ το εμβαδόν που σχηματίζεται απ' τα σημεία επαφής, να δειχθεί ότι $\mathrm{E}_1 = \frac{9}{4} \mathrm{E}_2$ .

Pi3.1415 · #2

Για το α):
Έχουμε: $x^2+4y^2=4\Leftrightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$
Η απόσταση των εστιών απο το κέντρο της έλλειψης ορίζεται από τον τύπο $f=\sqrt{max(z,w)^2-min(z,w)^2}$ , όπου $\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{w^2}=1$ η εξίσωση της έλλειψης. Σε αυτή την περίπτωση z=2

και

, άρα $f=\sqrt{2^2-1}=\sqrt{3}$
Οι εστίες δηλαδή είναι οι $A=(\sqrt{3},0)$ και $B=(-\sqrt{3},0)$ , αφού το κέντρο της έλλειψης είναι το (0,0)

. Επειδή τυγχαίνει και το κέντρο του κύκλου να είναι το ίδιο, οι εστίες έχουν την ίδια απόσταση και απο το κέντρο του κύκλου. Έτσι μπορούμε να βρουμε τις εφαπτομένες που φέρονται από τις εστίες στον κύκλο. Οι ευθείες αυτές βρίσκονται με τον τύπο $y=dx\pm df$ , όπου f η απόσταση του σημείου απο τον κύκλο (σε αυτή την περίπτωση είναι $\sqrt{3}$ ) και $d=\frac{\sqrt{f^2-1}}{f^2-1}$ (Όλα αυτά όταν η ακτίνα του κύκλου ρ=1 και τα σημεία βρίσκονται στο ίδιο ύψος με το κέντρο του κύκλου). Άρα $d=\frac{\sqrt{3-1}}{3-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , και οι τέσσερις εφαπτομένες είναι οι εξής:
(1) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}$
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}$
(3) $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}$
(4) $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}$
Αφού οι τιμές των κλίσεων των εξισώσεων είναι κατά απόλυτη τιμή ίσες και οι σταθεροί όροι είναι κατά απόλυτη τιμή ίσοι, πράγματι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν ρόμβο.
Για το β):
Οι εξισώσεις (1),(3) και (2),(4) αφού η μόνη διαφορά τους είναι η αντίθετη τους κλίση είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y, δηλαδή εκεί και τέμνονται.Άρα βάζοντας την τιμή χ=0 στις εξισώσεις βρίσκουμε τα 4 σημεία του ρόμβου ACBD:
$A=(\sqrt{3},0), C=(0,\frac{\sqrt{6}}{2}), B=(-\sqrt{3},0) ,D=(0,-\frac{\sqrt{6}}{2})$
Άρα $E_{1}=(ACBD)=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{2}=3\sqrt{2}$
Τώρα για να βρούμε που εφάπτονται οι ευθείες με τον κύκλο αρκεί να λύσουμε τα σύστηματα $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x\pm \sqrt{3})$
και x^2+y^2=1

. Η λύση των συγκεκριμένων είναι τα $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})=(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})=(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})=(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})$ .
Δηλαδή σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο από τα σημεία επαφής των εφαπτομένων των εστιών προς τον κύκλο.
Άρα: $E_{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ και πράγματι ισχύει πως
$\frac{9}{4}E_{2}=\frac{9}{4}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}=E_{1}$

Ένα διαδραστικό σχήμα: https://www.desmos.com/calculator/e8k8xxijoh

Κωνικές και γεωμετρία

Κωνικές και γεωμετρία

Re: Κωνικές και γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση