Ο τόπος των επαφών

#1

Δίνεται η παραβολή με εξίσωση $\displaystyle {{y}^{2}}=2px,\,\,\,p>0$ και ο κύκλος με κέντρο στον $\displaystyle Ox$ ,
ο οποίος εφάπτεται στην παραβολή στα σημεία $\displaystyle A,B$ και διέρχεται από την εστία της .
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής .

#2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 19, 2022 9:25 am
Δίνεται η παραβολή με εξίσωση $\displaystyle {{y}^{2}}=2px,\,\,\,p>0$ και ο κύκλος με κέντρο στον $\displaystyle Ox$ ,
ο οποίος εφάπτεται στην παραβολή στα σημεία $\displaystyle A,B$ και διέρχεται από την εστία της .
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής .

Θα αποφύγω αρκετές πράξεις ρουτίνας.

$\displaystyle E\left( {\frac{p}{2},0} \right).$ Θέτω $\displaystyle K(k,0),B({x_1},{y_1}),$ οπότε $\displaystyle A({x_1}, - {y_1}).$ Είναι, $\displaystyle r = KA = KB = KE = k - \frac{p}{2}$

: Τόπος των επαφών.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Ισχύουν οι σχέσεις: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {y_1}^2 = 2p{x_1} \hfill \\ y{y_1} = p(x + {x_1}) \hfill \\ {\lambda _{KB}} = \frac{{{y_1}}}{{{x_1} - k}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{p}{{{y_1}}} \cdot \frac{{{y_1}}}{{{x_1} - k}} = - 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x_1=k-p}$

Αλλά, $\displaystyle {({x_1} - k)^2} + {y_1}^2 = {\left( {k - \frac{p}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\frac{5p}{2}}$ και $\boxed{r=2p}$

Έχω λοιπόν, $\displaystyle B\left( {k - p,\sqrt {2p(k - p)} } \right) = \left( {\frac{{3p}}{2},p\sqrt 3 } \right)$ και ομοίως $\displaystyle A \left( {\frac{{3p}}{2}, - p\sqrt 3 } \right).$

Με απαλοιφή του

βρίσκω ότι ο γ. τόπος των B,A

είναι αντίστοιχα οι ευθείες $\boxed{\varepsilon :y = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}}$ και $\boxed{\varepsilon ':y = - \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}}$

Ο τόπος των επαφών

Ο τόπος των επαφών

Re: Ο τόπος των επαφών

Μέλη σε σύνδεση