Σε ισόπλευρο τρίγωνο...

giannimani · #1

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

κέντρου

. Ευθεία, που διέρχεται από την κορυφή

, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BOC

στα σημεία

και

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία

,

και τα μέσα

,

των ευθυγράμμων τμημάτων

,

αντίστοιχα, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

: isopl_tr.png (34.68 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Filippos Athos · #2

giannimani έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 11:58 am
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο κέντρου . Ευθεία, που διέρχεται από την κορυφή , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία , και τα μέσα , των ευθυγράμμων τμημάτων , αντίστοιχα, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
isopl_tr.png

: ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ.png (178.88 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

'Εστω

σηείο τομής της

με

,προφανώς αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο το

είναι το μέσο της

αρα

συνευθειακά.Αρα για να ισχύει ότι το ζητούμενο τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, απο δύναμη σημείου ως προς κύκλο πρέπει να ισχύει $JO\cdot JB=JM\cdot JN$ .

Επίσης ξέρουμε ότι AB,AC

είναι εφαπτομένες στον περιγεγραμένο κύκλο του BOC

άρα απο δυναμη σημείου ως προς κύκλο, ισχύει
$AB^2=AC^2=AD\cdot AE,(1)$

Συμβολίζουμε JO=x

.Βλέπουμε ότι τρίγωνα όπως JOC,JBC

είναι

οπότε ισχύουν τα παρακάτω
$JO=x\Rightarrow OC=2x\Rightarrow OB=2x\Rightarrow JB=3x\Rightarrow JO\cdot JB=3x^2$

Επίσης έχουμε $AB=AC=2x\sqrt{3}$ .Απο (1)

έχουμε $AB^2=AC^2=AD\cdot AE=12x^2$
Επιδή J,M,N

είναι μέσα των τμημάτων AC,DC,EC

ισχύει
$JM=\frac{AD}{2},JN=\frac{AE}{2}\Rightarrow JM\cdot JN=\frac{AD\cdot AE}{4}=\frac{12x^2}{4}=3x^2$

αρα αφού ισχύει $JM\cdot JN=3x^2=JO\cdot JB$ , το τετράπλευρο OMNB

είναι εγγράψιμο

Σε ισόπλευρο τρίγωνο...

Σε ισόπλευρο τρίγωνο...

Re: Σε ισόπλευρο τρίγωνο...

Μέλη σε σύνδεση