Άθροισμα αντιστρόφων

#1

: Άθροισμα αντιστρόφων..png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC.

Οι κάθετες από το

στις

τέμνουν τις προεκτάσεις της

στα

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle \frac{1}{{BD}} + \frac{1}{{CE}}$ συναρτήσει των πλευρών a, b, c

του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 01, 2021 3:48 pm
Άθροισμα αντιστρόφων..png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν τις προεκτάσεις της στα

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle \frac{1}{{BD}} + \frac{1}{{CE}}$ συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

$\dfrac {1}{BD}= \dfrac {1}{CD-a}= \dfrac {1}{\dfrac {b}{\cos C}-a} }= \dfrac {\cos C}{b-a\cos C}= \dfrac { \dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab} }{b-\dfrac {(a^2+b^2-c^2)a}{2ab}}= \dfrac {a^2+b^2-c^2}{a(b^2+c^2-a^2)}$

Όμοια (συμμετρία) $\dfrac {1}{CE}= \dfrac {a^2+c^2-b^2}{a(b^2+c^2-a^2)}$ .

Άρα το ζητούμενο άθροισμά τους είναι $\dfrac {2a}{b^2+c^2-a^2}$

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 01, 2021 3:48 pm
Άθροισμα αντιστρόφων..png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν τις προεκτάσεις της στα

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle \frac{1}{{BD}} + \frac{1}{{CE}}$ συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Εστω

Στο τρίγωνο ADC

απο Πυθαγόρειο θεώρημα και Stweart

αντίστοιχα $AD^{2}=(a+y)^{2}-b^{2},AD^{2}=\dfrac{(y+a)(c^{2}+ay)-yb^{2}}{a}$ Οπότε

$y=\dfrac{a(a^{2}-c^{2}-b^{2})}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}(*)$

Ομοίως στο τρίγωνο AEB

με Π.Θ και Stewart

αντίστοιχα

$AE^{2}=(a+x)^{2}-c^{2},AE^{2}=\dfrac{(a+x)(b^{2}+ax)-c^{2}x}{a}$

Αρα

$x=\dfrac{a(a^{2}-c^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}-c^{2}},(**), (*),(**)\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2a}{c^{2}+b^{2}-a^{2}}$

#4

Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Θεωρώ ότι η γωνίες $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ είναι οξείες αλλά με τον ίδιο τρόπο θα εργαστώ αν κάποια είναι αμβλεία .

Θέτω : $CE = x\,\,,\,\,BD = y\,\,,\,\,TB = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = k$ . Προφανώς $k + m = a\,\,\left( 1 \right)$ .

Από Θ απέναντι αμβλείας στο $\vartriangle ACE$ έχω: $A{E^2} = {b^2} + {x^2} + 2kx$ που αφού το $\vartriangle ABE$ είναι ορθογώνιο θα προκύψει:

${\left( {a + x} \right)^2} - {c^2} = {b^2} + {x^2} + 2kx \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2xm$ .

: Άθροισμα αντιστρόφων.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Έτσι αν θέσω τη σταθερή ποσότητα : ${b^2} + {c^2} - {a^2} = u$ θα έχω ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} u = 2xm \hfill \\ u = 2yk \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{2m}}{u} + \frac{{2k}}{u} = \frac{{2\left( {m + k} \right)}}{u} = \frac{{2a}}{u}}$ δηλαδή: $\boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{2a}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 01, 2021 3:48 pm
Άθροισμα αντιστρόφων..png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν τις προεκτάσεις της στα

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle \frac{1}{{BD}} + \frac{1}{{CE}}$ συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Από το νόμο των προβολών έχουμε

$bcosC+ccosB=a\Rightarrow bsinD+csinE=a \Rightarrow \dfrac{sinD}{c} + \dfrac{sinE}{b}= \dfrac{a}{bc}$ $\Leftrightarrow$

$\dfrac{1}{\dfrac{c}{sinD} }+ \dfrac{1}{ \dfrac{b}{sinE} }= \dfrac{a}{bc}$

Ο νόμος ημιτόνων στα τρίγωνα ADB,ACE

δίνει , $\dfrac{c}{sinD}= \dfrac{x}{sin \theta }$ και $\dfrac{b}{sinE}= \dfrac{y}{sin \theta }$ .Άρα

$\dfrac{1}{\dfrac{x}{sin \theta } }+ \dfrac{1}{ \dfrac{y}{sin \theta } }= \dfrac{a}{bc} \Rightarrow \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{a}{bcsin \theta } =\dfrac{a}{bccosA }$

Αλλά από ν.συνημιτόνου, $bccosA= \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$ και τελικά έχουμε

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{2a}{b^2+c^2-a^2}$

: άθροισμα αντιστρόφων.png (10.13 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Άθροισμα αντιστρόφων

Άθροισμα αντιστρόφων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

Μέλη σε σύνδεση