Η μεγάλη χορδή

KARKAR · #1

: Η μεγάλη χορδή.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1049 φορές

Τα μήκη των χορδών AB,BC,CD

είναι γνωστά . Βρείτε το μήκος της διαμέτρου

.

Αναζητήστε και ( τουλάχιστον έναν ) διαφορετικό τρόπο !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 10, 2020 7:43 am
Η μεγάλη χορδή.pngΤα μήκη των χορδών είναι γνωστά . Βρείτε το μήκος της διαμέτρου .

Αναζητήστε και ( τουλάχιστον έναν ) διαφορετικό τρόπο !

: Η μεγάλη χορδή.png (15.85 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

1) Θεώρημα Πτολεμαίου: $\displaystyle 4x + 15 = AC \cdot BD = \sqrt {{x^2} - 25} \sqrt {{x^2} - 9} \Leftrightarrow {x^3} - 50x - 120 = 0$

2)Εναλλακτικά: Νόμος συνημιτόνου στο ABC:

$\displaystyle A{C^2} = 25 - 24\cos B = 25 + 24\cos D = 25 + 24\frac{5}{x} \Leftrightarrow {x^2} - 25 = 25 + \frac{{120}}{x},$

όπου καταλήγω στην ίδια εξίσωση με προσεγγιστική λύση $\boxed{x \simeq 8,0558}$

#3

Μια εναλλακτική ακόμα:

: 10-07-2020 Γεωμετρία.jpg (29.41 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Είναι $\displaystyle 0^\circ < \theta ,\;\varphi ,\;\omega < 180^\circ$ και $\displaystyle \theta + \varphi + \omega = 180^\circ$

$\displaystyle \eta \mu \frac{\theta }{2} = \frac{3}{{2R}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2} = \frac{{\sqrt {4{R^2} - 9} }}{{2R}},\;\;\;\;\eta \mu \frac{\varphi }{2} = \frac{2}{R} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt {{R^2} - 4} }}{R}$

$\displaystyle \eta \mu \frac{\omega }{2} = \eta \mu \left( {90^\circ - \frac{{\varphi + \theta }}{2}} \right) = \frac{5}{{2R}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{{\varphi + \theta }}{2} = \frac{5}{{2R}}$

Οπότε

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \frac{{\varphi + \theta }}{2} = \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2} - \eta \mu \frac{\varphi }{2} \cdot \eta \mu \frac{\theta }{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{{2R}} = \frac{{\sqrt {{R^2} - 4} }}{R} \cdot \frac{{\sqrt {4{R^2} - 9} }}{{2R}} - \frac{3}{{2R}} \cdot \frac{2}{R}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5R + 6 = \sqrt {4{R^4} - 25{R^2} + 36}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2{R^3} - 25R - 30 = 0$ , από όπου έχουμε $\displaystyle R \cong 4,03$ .

Καταλήγω στην ίδια προσέγγιση με τον Γιώργο.

KARKAR · #4

Θα πρέπει να απολογηθώ για την διατύπωση : "Βρείτε το μήκος της διαμέτρου

" .

Πράγματι η προκύπτουσα εξίσωση δεν λύνεται με την ύλη της Β' Λυκείου .

Ωστόσο από γεωμετρική άποψη , καταλήγοντας στην εξίσωση αυτή , έχουμε "κάνει το καθήκον " μας .

Τώρα για το αλγεβρικό μέρος , το μόνο που θα μπορούσε κάποιος ίσως να ζητήσει , είναι

η αξιοποίηση της ( εκτός ύλης αλλά εντός του βιβλίου ) παραγράφου : "Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση" .

Θα εντοπίζαμε ( και θα απορρίπταμε ) δύο αρνητικές και μία θετική ρίζα μεταξύ

και

.

#5

Έστω

το σημείο τομής των χορδών $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ , ας είναι δε

η προβολή του

στην

.

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων : $BAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CDS$ έχω ότι αν $SA = 3m\,\,,\,\,FB = 3k$ , θα είναι $SD = 5m\,\,,\,\,SC = 5k$ .

Από την ομοιότητα των τριγώνων : $SBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SAD$ και το Π. Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο BAS

έχω:

$\dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{{SB}}{{SA}} = \dfrac{k}{m}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A{S^2} = B{A^2} + B{S^2}$ . Αν θέσω AD = a

οι σχέσεις δίδουν:

$\left\{ \begin{gathered} {m^2} = {k^2} + 1 \hfill \\ \frac{4}{a} = \frac{k}{m} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{{4m}}{a}\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ {m^2} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - 16}}\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Η μεγάλη χορδή_new.png (29.48 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} AS \cdot AC = AT \cdot a \hfill \\ DS \cdot DB = DT \cdot a \hfill \\ \end{gathered} \right.$ προσθέτω κι έχω:

$3m\left( {3m + 5k} \right) + 5m\left( {3k + 5m} \right) = {a^2} \Leftrightarrow 34{m^2} + 30km = {a^2}$ που λόγω των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω:

$\boxed{{\alpha ^3} - 50\alpha - 120 = 0}$ με δεκτή ρίζα: $\boxed{\alpha = \frac{{10\sqrt 6 \cos \theta }}{3}}\,\,$

Η δε γωνία $\theta$ να ορίζεται από τη σχέση: $\boxed{\theta = \frac{{\arctan \left( {\frac{{\sqrt {834} }}{{54}}} \right)}}{3}}$ .

Η μεγάλη χορδή

Η μεγάλη χορδή

Re: Η μεγάλη χορδή

Re: Η μεγάλη χορδή

Re: Η μεγάλη χορδή

Re: Η μεγάλη χορδή

Μέλη σε σύνδεση