Πολυώνυμο

kostas136 · #1

Έστω πολυώνυμο P(x)

του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 10 και επιπλέον $\displaystyle P(4x-2)=P(x)+4, \forall x\in R.$
Να αποδείξετε ότι P(22)=22.

#2

kostas136 έγραψε:Έστω πολυώνυμο του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 10 και επιπλέον $\displaystyle P(4x-2)=P(x)+4, \forall x\in R.$
Να αποδείξετε ότι

H δοθείσα για $\displaystyle{x=6,2,1}$ δίνει αντίστοιχα

$\displaystyle{P(22)=P(6)+4,}$

$\displaystyle{P(6)=P(2)+4,}$

$\displaystyle{P(2)=P(1)+4.}$

Από αυτές με πρόσθεση κατά μέλη, βρίσκουμε $\displaystyle{P(22)=P(1)+12=10+12=22.}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Μία προσπάθεια

Ρ(22) = Ρ(4.6-2) = Ρ(6)+4 = Ρ(4.2-2)+4 = Ρ(2)+4+4 = Ρ(4.1-2)+8 = Ρ(1)+4+8 = 10+12 = 22

Φιλικά Χρήστος

kostas136 · #4

Η άσκηση είναι πολύ πρόχειρα φτιαγμένη από μένα μόνο και μόνο για να τονίσω την χρήση μίας από τις δύο βασικές αρχές: 1) Το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με P(1) και 2) Ο σταθερός όρος είναι ίσος με P(0).
Όμως, όπως πολύ σωστά μου τόνισε ο Λεωνίδας, δεν υπάρχει πολυώνυμο με την παραπάνω ιδιότητα. Παραθέτω το κείμενο στο μήνυμά του διότι έχει αξία αυτό που έγραψε. Τον ευχαριστώ ξανά για την επισήμανση του λάθους.

Εδώ, υπάρχει το εξής πρόβλημα:
Δεν υπάρχει πολυώνυμο P με τις παραπάνω ιδιότητες
Απόδειξη

Εύκολα βλέπουμε πως το πολυώνυμο αυτό δεν μπορεί να είναι σταθερό, δηλαδή degP(x) >0.
Έστω degP(x) = n, δηλαδή $\displaystyle P(x) = a_nx^n +...$ , με $\displaystyle a_n /= 0$ .
Τότε, όμως, ο μεγιστοβάθμιος όρος του $\displaystyle P(4x-2)$ είναι ο $\displaystyle 4^na_nx^n$ .
Συνεπώς, πρέπει να ισχύει $\displaystyle 4^na_nx^n = a_nx^n$ για κάθε x. Άρα $\displaystyle 4^n=1$ , δηλαδή n=0

, άτοπο.

Φιλικά,
Ιωσηφίδης Λεωνίδας (iosifile)
Μαθηματικός Δ.Ε.
Γυμνάσιο Πυθαγορείου, Σάμος

#5

kostas136 έγραψε:Η άσκηση είναι πολύ πρόχειρα φτιαγμένη από μένα μόνο και μόνο για να τονίσω την χρήση μίας από τις δύο βασικές αρχές: 1) Το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με P(1) και 2) Ο σταθερός όρος είναι ίσος με P(0).
Όμως, όπως πολύ σωστά μου τόνισε ο Λεωνίδας, δεν υπάρχει πολυώνυμο με την παραπάνω ιδιότητα. Παραθέτω το κείμενο στο μήνυμά του διότι έχει αξία αυτό που έγραψε. Τον ευχαριστώ ξανά για την επισήμανση του λάθους.

Εδώ, υπάρχει το εξής πρόβλημα:
Δεν υπάρχει πολυώνυμο P με τις παραπάνω ιδιότητες
Απόδειξη

Εύκολα βλέπουμε πως το πολυώνυμο αυτό δεν μπορεί να είναι σταθερό, δηλαδή degP(x) >0.
Έστω degP(x) = n, δηλαδή $\displaystyle P(x) = a_nx^n +...$ , με $\displaystyle a_n /= 0$ .
Τότε, όμως, ο μεγιστοβάθμιος όρος του $\displaystyle P(4x-2)$ είναι ο $\displaystyle 4^na_nx^n$ .
Συνεπώς, πρέπει να ισχύει $\displaystyle 4^na_nx^n = a_nx^n$ για κάθε x. Άρα $\displaystyle 4^n=1$ , δηλαδή , άτοπο.

Φιλικά,
Ιωσηφίδης Λεωνίδας (iosifile)
Μαθηματικός Δ.Ε.
Γυμνάσιο Πυθαγορείου, Σάμος

Μπορούμε να δούμε ότι δεν υπάρχει καμία συνάρτηση (όχι απλώς πολυωνυμική) με τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Αυτό φαίνεται αν θέσουμε στη συναρτησιακή σχέση $\displaystyle{x=\frac{2}{3}.}$

iosifile · #6

Έστω πολυώνυμο P(x) του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 10 και επιπλέον $\displaystyle P(4x-2)=16P(x)+4, \forall x\in R.$
Να υπολογίσετε την τιμή του P(22).

Κώστα,
τώρα η άσκηση είναι ok, και λύνεται με τον ίδιο τρόπο, όπως και παραπάνω.
Μπορείς κιόλας να πεις οτι το άθροισμα των συντελεστών είναι π.χ. 1, για να βγουν πιο στρωτοί αριθμοί.

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση