Μηδενική παράγωγος

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5553
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Μηδενική παράγωγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 28, 2025 4:42 pm

Έστω f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ακέραια και u(x,y) = \mathfrak{Re} f(x + iy), (x,y) \in \mathbb{R}^2. Έστω (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2 σταθερό και έστω \displaystyle{I(r) := \int_0^{2\pi} u(x_0 + r \cos\varphi, y_0 + r \sin\varphi) \, \mathrm{d} \varphi, \; , \;  r > 0}. Να δειχθεί ότι I'(r) = 0 για r > 0.


Μέχρι 01/03/2025.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
abfx
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2022 12:23 pm
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική παράγωγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abfx » Σάβ Μαρ 01, 2025 1:26 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2025 4:42 pm
Έστω f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ακέραια και u(x,y) = \mathfrak{Re} f(x + iy), (x,y) \in \mathbb{R}^2. Έστω (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2 σταθερό και έστω \displaystyle{I(r) := \int_0^{2\pi} u(x_0 + r \cos\varphi, y_0 + r \sin\varphi) \, \mathrm{d} \varphi, \; , \;  r > 0}. Να δειχθεί ότι I'(r) = 0 για r > 0.


Μέχρι 01/03/2025.
Έστω z_0=x_0+iy_0 και v(x,y)=\mathfrak {Im} f(x+iy).

Για κάθε r>0 θεωρούμε τον βρόχο \gamma_r :[0,2\pi]\rightarrow \mathbb C με \gamma_r(\phi)=z_0+re^{i\phi}. Από Ολοκληρωτικό Τύπο Cauchy θα είναι:

\displaystyle f(z_0)=\frac{1}{2\pi i }\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi i }\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_0+e^{i\phi})}{re^{i\phi}}rie^{i\phi}d\phi=

\displaystyle=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(z_0+e^{i\phi})d\phi=\frac{1}{2\pi } \left(\int_{0}^{2\pi}u(z_0+e^{i\phi})d\phi+i\int_{0}^{2\pi}v(z_0+e^{i\phi})d\phi \right)

Συγκρίνοντας τα πραγματικά μέρη στην πιο πάνω ισότητα προκύπτει:

I(r)=2\pi \mathfrak{Re} f(z_0) για κάθε r>0, επομένως I'(r)=0 παντού και τελειώσαμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μηδενική παράγωγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 01, 2025 2:50 pm

Δεν χρειάζονται τα παραπάνω.
Είναι η απόδειξη της ιδιότητας μέσης τιμής για αρμονικές συναρτήσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης