Μηδενική παράγωγος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ακέραια και $u(x,y) = \mathfrak{Re} f(x + iy)$ , $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ . Έστω $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ σταθερό και έστω $\displaystyle{I(r) := \int_0^{2\pi} u(x_0 + r \cos\varphi, y_0 + r \sin\varphi) \, \mathrm{d} \varphi, \; , \; r > 0}$ . Να δειχθεί ότι I'(r) = 0

για

.

Μέχρι 01/03/2025.

abfx · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2025 4:42 pm
Έστω $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ακέραια και $u(x,y) = \mathfrak{Re} f(x + iy)$ , $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ . Έστω $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ σταθερό και έστω $\displaystyle{I(r) := \int_0^{2\pi} u(x_0 + r \cos\varphi, y_0 + r \sin\varphi) \, \mathrm{d} \varphi, \; , \; r > 0}$ . Να δειχθεί ότι για .

Μέχρι 01/03/2025.

Έστω

και $v(x,y)=\mathfrak {Im} f(x+iy)$ .

Για κάθε r>0

θεωρούμε τον βρόχο $\gamma_r :[0,2\pi]\rightarrow \mathbb C$ με $\gamma_r(\phi)=z_0+re^{i\phi}$ . Από Ολοκληρωτικό Τύπο Cauchy θα είναι:

$\displaystyle f(z_0)=\frac{1}{2\pi i }\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi i }\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_0+e^{i\phi})}{re^{i\phi}}rie^{i\phi}d\phi=$

$\displaystyle=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(z_0+e^{i\phi})d\phi=\frac{1}{2\pi } \left(\int_{0}^{2\pi}u(z_0+e^{i\phi})d\phi+i\int_{0}^{2\pi}v(z_0+e^{i\phi})d\phi \right)$

Συγκρίνοντας τα πραγματικά μέρη στην πιο πάνω ισότητα προκύπτει:

$I(r)=2\pi \mathfrak{Re} f(z_0)$ για κάθε r>0

, επομένως I'(r)=0

παντού και τελειώσαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν χρειάζονται τα παραπάνω.
Είναι η απόδειξη της ιδιότητας μέσης τιμής για αρμονικές συναρτήσεις.

Μηδενική παράγωγος

Μηδενική παράγωγος

Re: Μηδενική παράγωγος

Re: Μηδενική παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση