Ασκήσεις Τοπολογίας στους συνεχείς χώρους

TrItOs · #1

Παραθέτω τρεις ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα την βοήθειά σας. Παρακαλώ μπορείτε να παραθέσετε την λύση ή την πηγή όπου να αναζητήσω την απάντηση και να την βρω.
Επιπλέον, θέλω να προτείνετε βιβλία τοπολογίας και όσο αφορά πιο πολύ τα κεφάλαια Συνεχείς Χώροι(δηλαδή αυτοί που είναι συμπαγείς, συνεκτικοί και Hausdorff), Τοπικά συνεκτικοί Χώροι, Συνεχή του Peano, Σημεία Τομής και να έχουν ασκήσεις μέσα στις οποίες να συμβουλευτώ.

Έστω $\displaystyle{\mathbb{X}}$ μετρικό συνεχές τέτοιο ώστε για κάθε δύο σημεία $\displaystyle{a, b \in \mathbb{X}}$ το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ a, b \}}$ είναι μη συνεκτικό. Να δείξετε ότι το $\displaystyle{\mathbb{X}}$ δεν έχει σημεία τομής.

Ένα συνεχές λέγεται αποσυνθέσιμο αν και μόνο αν είναι η ένωση δύο γνήσιων υποσυνεχών του, δηλαδή , όπου συνεχή διαφορετικά από το (Αν το δεν είναι αποσυνθέσιμο τότε λέμε ότι το είναι αντιποσυνθέσιμο). Να δείξετε ότι:
- Ένα συνεχές $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμο αν και μόνο αν το $\displaystyle{\mathbb{X}}$ περιέχει ένα γνήσιο υποσυνεχές του οποίου το εσωτερικό είναι μη κενό.
- Κάθε συνεχές του $\displaystyle{Peano}$ είναι αποσυνθέσιμο.

Έστω $\displaystyle{\mathbb{X}}$ συμπαγής μετρικός χώρος. Να δείξετε ότι: Ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι τοπικά συνεκτικός αν και μόνο αν $\displaystyle{\forall \epsilon > 0}$ , $\displaystyle{\exists \delta > 0}$ , τέτοιο ώστε για κάθε δύο σημεία $\displaystyle{a, b \in \mathbb{X}}$ με $\displaystyle{d ( a, b ) < \delta}$ να υπάρχει υποσυνεχές $\displaystyle{C}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ με $\displaystyle{a, b \in C}$ και $\displaystyle{diam(C) < \epsilon}$ .

TrItOs · #2

Παραθέτω τις λύσεις, δείτε τις και πείτε μου.

- Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα (τουλάχιστον) σημείο τομής $\displaystyle{p \in \mathbb{X}}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
- Τότε ο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p \}}$ είναι μη συνεκτικός.
- Άρα υπάρχουν κλειστά σύνολα $\displaystyle{U, V}$ του $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p \}}$ με $\displaystyle{U, V \neq \emptyset}$ και $\displaystyle{U \cap V = \emptyset}$ ώστε $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p \} = U \cup V}$ . Επιπλέον ισχύει ότι το $\displaystyle{\{ p \} = U^{c} \cap V^{c}}$ είναι ανοιχτό.
- Ο χώρος $\displaystyle{\mathbb{X}}$ έχει ένα τουλάχιστον σημείο μη τομής, σύμφωνα με το Θεώρημα του $\displaystyle{Moore}$ , ας είναι $\displaystyle{q \in \mathbb{X}}$ το σημείο μη τομής του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
- Τότε ο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ q \}}$ είναι συνεκτικός.
- Οπότε για τα $\displaystyle{p, q}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ έχουμε ότι ο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p, q \}}$ είναι μη συνεκτικός, εξ' υποθέσεως.
- Άρα έχουμε ότι υπάρχουν ανοιχτά σύνολα $\displaystyle{U', V'}$ του $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p, q \}}$ με $\displaystyle{U', V' \neq \emptyset}$ και $\displaystyle{U' \cap V' = \emptyset}$ ώστε $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p, q \} = U' \cup V'}$ .
- Όμως, $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ q \} = \mathbb{X} \setminus \{ p, q \} \cup \{ p \} = \big( \{ p \} \cup U' \big) \cup V'}$ .
- Επιπλέον ικανοποιούνται τα εξής:
- $\displaystyle{\{ p \} \cup U' , V' \neq \emptyset}$ ,
- τα $\{ p \} \cup U'$ και είναι ανοιχτά και $\big( \{ p \} \cup U' \big) \cap V' = \underbrace{\overbrace{\big( \{ p \} \cap V' \big)}^{p \notin V'}}_{= \emptyset} \cup \underbrace{\big( U' \cap V' \big)}_{= \emptyset} = \emptyset$ .
- Οπότε ο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ q \}}$ είναι μη συνεκτικός, το οποίο είναι άτοπο.

- - Ευθύ, Έστω το συνεχές $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμο.
  - Επειδή το $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμο, τότε $\displaystyle{\mathbb{X} = X_{1} \cup X_{2}}$ , όπου $\displaystyle{X_{1}, X_{2}}$ συνεχή διαφορετικά από το $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
  - Επειδή τα $\displaystyle{X_{1}, X_{2}}$ είναι συμπαγή(ως συνεχή) υποσύνολα του $\displaystyle{Hausdorff}$ χώρου $\displaystyle{\mathbb{X}}$ (ως συνεχές) είναι και κλειστά.
  - Τότε για κάθε $\displaystyle{x_{1} \in X_{1}}$ και κάθε $\displaystyle{x_{2} \in X_{2}}$ έχουμε ότι υπάρχουν τα ανοιχτά $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus X_{2}}$ , $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus X_{1}}$ ώστε $\displaystyle{x_{1} \in \mathbb{X} \setminus X_{2} \subseteq X_{1}}$ και $\displaystyle{x_{2} \in \mathbb{X} \setminus X_{1} \subseteq X_{2}}$ .
  - Άρα $\displaystyle{Int \big( X_{1} \big) \neq \emptyset}$ και $\displaystyle{Int \big( X_{2} \big) \neq \emptyset}$ .
  - Αντίστροφο, Έστω ότι το συνεχές $\displaystyle{\mathbb{X}}$ περιέχει ένα γνήσιο υποσυνεχές του οποίου το εσωτερικό είναι μη κενό.
  - Έχουμε το υποσυνεχές $\displaystyle{Y}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ , $\displaystyle{Y \neq \mathbb{X}}$ με $\displaystyle{Int(Y) \neq \emptyset}$ .
  - Τότε έχουμε τις δύο περιπτώσεις:
  - Αν το $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus Y}$ είναι συνεκτικό, τότε
    και το $\displaystyle{Cl \big( \mathbb{X} \setminus Y \big) \neq \mathbb{X}}$ είναι:
  - συνεκτικό,
  - συμπαγές(ως κλειστός υπόχωρος συμπαγούς χώρου) και
    $\displaystyle{Hausdorff}$ (ως υπόχωρος $\displaystyle{Hausdorff}$ χώρου).
  - Επομένως, το $\displaystyle{Cl \big( \mathbb{X} \setminus Y \big)}$ είναι γνήσιο υποσυνεχές του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
  - Οπότε γράφουμε $\displaystyle{\mathbb{X} = Y \cup Cl \big( \mathbb{X} \setminus Y \big)}$ .
  - Δηλαδή ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμος.
  - Αν το $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus A}$ είναι μη συνεκτικό, τότε
    $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus Y = U \big| V}$ .
  - Τα $\displaystyle{Y \cup U}$ , $\displaystyle{Y \cup V}$ είναι υποσυνεχή του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
  - Ισχύει ότι $\displaystyle{\mathbb{X} = \big( Y \cup U \big) \cup \big( Y \cup V \big)}$ .
  - Δηλαδή ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμος.
- - Έστω $\displaystyle{\mathbb{X}}$ ένα οποιοδήποτε συνεχές του $\displaystyle{Peano}$ .
  - Τώρα $\displaystyle{\forall x \in \mathbb{X}}$ και για κάθε ανοιχτή περιοχή $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{x}$ στον $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
  - Επειδή ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι τοπικά συνεκτικός, έχουμε πως:
  - Υπάρχει ανοιχτή και συνεκτική περιοχή $\displaystyle{V}$ του $\displaystyle{x}$ στον $\displaystyle{\mathbb{X}}$ ώστε $\displaystyle{x \in V \subseteq U}$ .
  - Η κλειστή θήκη του $\displaystyle{V}$ , $\displaystyle{C l \big( V \big) \neq \mathbb{X}}$ είναι:
  - συνεκτικό,
  - συμπαγές(ως κλειστός υπόχωρος συμπαγούς χώρου) και
  - $\displaystyle{Hausdorff}$ (ως υπόχωρος $\displaystyle{Hausdorff}$ χώρου).
  - Άρα το $\displaystyle{C l \big( V \big)}$ είναι γνήσιο υποσυνεχές του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ με $\displaystyle{Int \big( C l ( V ) \big) \neq \emptyset}$ , αφού $\displaystyle{\emptyset \neq V = Int(V) \subseteq Int \big( C l ( V ) \big)}$ .
  - Δηλαδή ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι αποσυνθέσιμος, λόγω του προηγούμενου ερωτήματος.

- Ευθύ, Ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι τοπικά συνεκτικός.
- Τώρα για κάθε $\displaystyle{\epsilon > 0}$ :
  και για το $\displaystyle{x_{0} \in \mathbb{X}}$ , έχουμε την ανοιχτή περιοχή $\displaystyle{B_{d} \big( x_{0}, \epsilon \big)}$ .
- Επειδή όμως είμαστε σε τοπικά συνεκτικό χώρο έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή και συνεκτική περιοχή $\displaystyle{V_{x_{0}}}$ του $\displaystyle{x_{0}}$ στον $\displaystyle{\mathbb{X}}$ ώστε $\displaystyle{x_{0} \in V_{x_{0}} \subseteq B_{d} \big( x_{0}, \epsilon \big)}$ .
- Επιπλέον έχουμε ότι $\displaystyle{\mathbb{X} = \bigcup\limits_{x_{0} \in \mathbb{X}} V_{x_{0}}}$ ,
- Δηλαδή η οικογένεια $\displaystyle{\big \{ V_{x_{0}} : x_{0} \in \mathbb{X} \big \}}$ είναι ανοιχτή κάλυψη του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ .
- Και επειδή ο $\displaystyle{\mathbb{X}}$ είναι συμπαγής και μετρικός χώρος έχουμε αποδείξει ότι υπάρχει αριθμός $\displaystyle{Lebesgue}$ για κάθε ανοιχτή κάλυψή του.
- Συνεπώς, έχουμε ότι $\displaystyle{\exists \delta > 0, \forall y \in \mathbb{X} : B_{d} \big( y, \delta \big) \subseteq V_{x}}$ .
- Σημειώνουμε ότι για κάθε μας επιλογή $\displaystyle{x \in \mathbb{X}}$ μπορούμε να επιλέξουμε $\displaystyle{\delta > 0}$ ώστε $\displaystyle{x \in B_{d} \big( y, \delta \big)}$ και αυτό επιτυχγάνεται διότι επιλέγουμε οποιοδήποτε $\displaystyle{y \in \mathbb{X}}$ .
- Άρα $\displaystyle{d ( x, y ) < \delta}$ και $\displaystyle{x, y \in C l ( V_{x} )}$ .
- Τώρα το $\displaystyle{C = C l ( V_{x} )}$ είναι:
- συνεκτικό,
- συμπαγές(ως κλειστός υπόχωρος συμπαγούς χώρου) και
- $\displaystyle{Hausdorff}$ (ως υπόχωρος $\displaystyle{Hausdorff}$ χώρου).
- Άρα το $\displaystyle{C = C l \big( V_{x} \big)}$ είναι υποσυνεχές του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ με διάμετρο $\displaystyle{diam ( C ) = diam \big( C l ( V_{x} ) \big) = diam \big( V_{x} \big) < \epsilon}$ .
- Αποδείξαμε ότι:
  
  $\displaystyle{\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in \mathbb{X} : d ( x, y ) < \delta \Rightarrow \exists C \subseteq \mathbb{X} \text{ υποσυνεχές} , x, y \in C, diam ( C ) < \epsilon}$ .
- Αντίστροφο, Έστω ότι για κάθε $\displaystyle{\epsilon > 0}$ , υπάρχει $\displaystyle{\delta > 0}$ , τέτοιο ώστε για κάθε δύο σημεία $\displaystyle{a, b \in \mathbb{X}}$ με $\displaystyle{d ( a, b ) < \delta}$ , υπάρχει υποσυνεχές $\displaystyle{C}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ με $\displaystyle{a, b \in C}$ και $\displaystyle{diam(C) < \epsilon}$ .
- Τώρα για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{X}}$ και για κάθε ανοιχτό $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ με $\displaystyle{x \in U}$ .
- $\displaystyle{\exists \epsilon > 0 : B_{d} \big( x, \epsilon \big) \subseteq U}$ , όπου $\displaystyle{B_{d} \big( x, \epsilon \big)}$ είναι ανοιχτό(το οποίο υπάρχει διότι μια βάση του τοπολολγικού χώρου μας είναι η συλλογή όλων αυτών των ανοιχτών μπαλών) και συνεκτικό(καθώς έχουμε αποδείξει ότι είναι δρομοσυνεκτικός) που περιχέχει το $\displaystyle{x}$ .