Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

micknor · #1

Καλησπέρα, μπορεί να μου υποδείξει κάποιος πως λύνονται τέτοιου τύπου ασκήσεις ή να μου προωθήσει κάποιο link ?

Η σειρά είναι:

Κώδικας: Επιλογή όλων

Ευχαριστώ

Λάμπρος Κατσάπας · #2

micknor έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 11:12 am
Καλησπέρα, μπορεί να μου υποδείξει κάποιος πως λύνονται τέτοιου τύπου ασκήσεις ή να μου προωθήσει κάποιο link ?

Η σειρά είναι:
Κώδικας: Επιλογή όλων
Ευχαριστώ

Καλώς όρισες!

Νομίζω την έβαλες σε λάθος φάκελο. Γράψε επίσης (3n+2)/n!

γιατί έτσι όπως είναι δεν συγκλίνει.

Σου δίνω μια υπόδειξη. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x.$

micknor · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση, δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι για να με βοηθήσει η υπόδειξη σας. Βλέπω παλαιότερα θέματα "Αθροισμα σειράς" στο φορουμ και παρατηρώ ότι κάνουν διάσπαση σε μερικά κλάσματα και προκύπτει τηλεκσοπική σειρά με το lim να προκύπτει μηδεν. Αυτό τον τρόπο θα ακολουθήσω?

Ευχαριστώ
Μιχάλης

Λάμπρος Κατσάπας · #4

micknor έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 12:18 pm
Ευχαριστώ για την απάντηση, δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι για να με βοηθήσει η υπόδειξη σας. Βλέπω παλαιότερα θέματα "Αθροισμα σειράς" στο φορουμ και παρατηρώ ότι κάνουν διάσπαση σε μερικά κλάσματα και προκύπτει τηλεκσοπική σειρά με το lim να προκύπτει μηδεν. Αυτό τον τρόπο θα ακολουθήσω?

Ευχαριστώ
Μιχάλης

Προχωράω λίγο το σκεπτικό.

Υπολόγισε τα $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n}{n!}=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}$ και

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{n!}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ με βάση την υπόδειξη

που σου έδειξα. Αφού τα υπολογίσεις και δείξεις ότι συγκλίνουν μπορείς να εφαρμόσεις μετά την

$\displaystyle \sum \left (a_n+b_n \right )=\sum a_n+\sum b_n$ .

Στο πρώτο άθροισμα θα χρειαστείς να κάνεις και μια αλλαγή μεταβλητής από n-1

σε

Με τον παραπάνω τρόπου μπορείς να υπολογίσεις οποιοδήποτε άθροισμα της μορφής

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{n!}$ όπου f(n)

πολυώνυμο του

,

μιας και ζήτησες μέθοδο.

micknor · #5

Ευχαριστώ πολύ! στις εικόνες είναι η προσπάθειά μου.

* Χρησιμοποιώ κριτήριο D'Alembert και όχι Cauchy όπως γράφω

Λάμπρος Κατσάπας · #6

micknor έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 1:21 pm
Ευχαριστώ πολύ! στις εικόνες είναι η προσπάθειά μου.

* Χρησιμοποιώ κριτήριο D'Alembert και όχι Cauchy όπως γράφω

Είναι λάθος το αποτέλεσμα. Κατ'αρχάς η άθροιση ξεκινά από n=0.

Επίσης στην αρχή που γράφεις

στον παρονομαστή γράψε n!.

Είναι επιπλέον $\displaystyle3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}$ και όχι

$\displaystyle3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}.$ H σειρά $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$ ως γνωστόν αποκλίνει στο $+\infty.$

Εδώ έχουμε $\displaystyle3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=3\left ( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+... \right )=3\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=3e.$

Επίσης είναι $\displaystyle 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ . Έχεις παραλείψει το n=0

και χάνεις έτσι έναν άσσο από τη σειρά.

Το αποτέλεσμα

είναι όμως σωστό.

To κριτήριο λόγου δεν χρειάζεται εδώ, εκτός αν ζητείται. Η σύγκλιση είναι δεδομένη αφού τις έχεις υπολογίσει.

** Προσπάθησε να γράφεις σε Latex όπως επιβάλλεται από τους κανονισμούς.

#7

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 1:41 pm
Είναι λάθος το αποτέλεσμα....

Λάμπρο, νομίζω ότι δεν είναι εκεί το πρόβλημα. Μακάρι στα γραφόμενα του micknor να υπήρχε ένα λαθάκι εδώ και ένα εκεί με αποτέλεσμα
μικρή αβλεψία στο τελικό αποτέλεσμα. Εδώ όμως ο micknor χρειάζεται αρκετά ουσιαστικότερη στήριξη γιατί ο ίδιος δεν βλέπω σχεδόν τίποτα σωστό σε αυτά έγραψε (βλέπε παρακάτω). Αντίθετα, βλέπω απίστευτη δυστοκία. Μακάρι να μπορούσα να βοηθήσω αλλά δυστυχώς το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να συμβουλεύσω τον micknor να αρχίσει μελέτη από την αρχή.

Σταχυολογώ δύο από τα κραυγαλέα λάθη.

α) Δεν αληθεύει $\displaystyle{\dfrac {3n}{(n+1)!}= \dfrac {3}{n+1} }$ . Είναι πολύ μακρυά από το σωστό.(Παραβλέπω το τυπογραφικό σφάλμα ότι αντί (n+1)!

έχει γραφεί

)

Ακόμα χειρότερο είναι το

β) $\displaystyle{\sum _0^{\infty}\dfrac {1}{n+1}=0}$ . Με κανένα μέτρο δεν μπορεί να δικαιολογηθεί τέτοια ισότητα. Μέρα με την νύχτα.

Και άλλα ακόμη.

Γίνομαι κοινωνός κακών ειδήσεων, αλλά δεν θέλω να ωραιοποιώ καταστάσεις. Ως ακαδημαϊκός άνθρωπος έχω χρέος να επισημαίνω πολύ βαριά σφάλματα με την ελπίδα ο φοιτητής να κάνει συνειδητή προσπάθεια να τα εξαλείψει. Αλλιώς τον οδηγώ σε κινούμενη άμμο, και δυστυχώς παρόμοιες καταστάσεις βιώνω κάθε μέρα, ιδίως όταν διορθώνω γραπτά.

Εν κατακλείδι, όπως γράφει σε έναν στίχο του ο Αισχύλος

Αλγεινά μεν μοι λέγειν έστιν τάδε, άλγος δε σιγάν.

#8

Αφαιρέθηκαν οι συνημμένες εικόνες. Τα σχόλια που ακολουθούν θα αφαιρεθούν αργότερα.

Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Re: Υπολογισε το αθροισµα της σειρας

Μέλη σε σύνδεση