σύγκριση αριθμών

dopfev · #1

Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς $A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1}$ και $B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}$ .

#2

dopfev έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς $A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1}$ και $B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{10^{2012}-1 =x >0}$ . Τότε έχουμε:

$\displaystyle{10.10^{2011}-1=x \Rightarrow 10^{2011}=\frac{x+1}{10}\Rightarrow 10^{2011}-1 =\frac{x-9}{10}}$

Επίσης:

$\displaystyle{10.(10^{2012} -1)=10x\Rightarrow 10^{2013}-10=10x\Rightarrow 10^{2013}-1=10x+9}$

Τώρα:

$\displaystyle{A-B=\frac{\frac{x-9}{10}}{x}-\frac{x}{10x+9} =}$

$\displaystyle{\frac{(x-9)(10x+9)-10x^2}{10x(10x+9)}=}$

$\displaystyle{\frac{10x^2 +9x-90x-81-10x^2}{10x(10x+9)}=}$

$\displaystyle{-\frac{81(x+1)}{10x(10x+1)}<0}$

Άρα $\displaystyle{A<B}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η άσκηση είναι κατάλληλη και για την προετοιμασία των παιδιών της Β και Γ Γυμνασίου για τους
διαγωνισμούς της ΕΜΕ

#3

dopfev έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς $A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1}$ και $B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}$ .

Αλλιώς (και γενικότερα). Ισχυρίζομαι $\dfrac{10^{N-1}-1}{10^{N}-1} < \dfrac{10^{N}-1}{10^{N+1}-1}$ , ισοδύναμα (πολλαπλασιάζοντας χιαστί)

$10^{2N} - 10^{N-1} - 10^{N+1} +1 < 10^{2N} - 2\cdot 10^{N} +1$ , ισοδύναμα

$- 10^{N-1} - 10^{N+1} < - 2\cdot 10^{N}$ , ισοδύναμα

$- 10^{N-1} (1+100) < - 20\cdot 10^{N-1}$ , ισοδύναμα 101 > 20

, που ισχύει.

dopfev · #4

Σας ευχαριστώ πολύ!

#5

dopfev έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς $A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1}$ και $B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}$ .

Αλλιώς: 'Εχουμε να συγκρίνουμε τους

και

. Ισοδύναμα μπορούμε να συγκρίνουμε τους 10A

και

, δηλαδή τους

$\displaystyle{\dfrac{10^{2012}-10}{10^{2012}-1}$ και $\dfrac{10^{2013}-10}{10^{2013}-1}$ . Με άλλα λόγια έχουμε να συγκρίνουμε τους

$1- \dfrac{9}{10^{2012}-1}$ και $1- \dfrac{9 }{10^{2013}-1}$ , ισοδύναμα τους

$\displaystyle{\dfrac{9}{10^{2012}-1}$ και $\dfrac{9 }{10^{2013}-1}$ , οπότε τους $\dfrac{1}{10^{2012}-1}$ και $\dfrac{1 }{10^{2013}-1}$ .

Αλλά ο δεύτερος είναι μικρότερος γιατί έχει μεγαλύτερο παρονομαστή. Τώρα ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία, και τα πράγματα είναι απλά.

σύγκριση αριθμών

σύγκριση αριθμών

Re: σύγκριση αριθμών

Re: σύγκριση αριθμών

Re: σύγκριση αριθμών

Re: σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση