Άρρητος

Tolaso J Kos · #1

Μπορεί ο φάκελος που βάζω την άσκηση να μην είναι ο κατάλληλος, αλλά σίγουρα και οι μαθητές της Α' θα επωφεληθούν από αυτή. Θα παρακαλούσα, όποιον τη λύσει να βάλει όσο αναλυτική λύση γίνεται.

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}\, '}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{Q}\, '}$ το σύνολο των άρρητων αριθμών.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

chris · #2

Έστω $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=m \in \mathbb{Q}$
Τότε
$\left(\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^2=\left(m-\sqrt{5} \right)^2\Rightarrow m^2=2\sqrt{6}+2m\sqrt{5} \in \mathbb{Q}\Rightarrow m^4=24+8m\sqrt{30}+20m^2\Rightarrow m^4-20m^2-24=8m\sqrt{30}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{30}\in \mathbb{Q}$

Θα είναι $\displaystyle \sqrt{30}=\frac{k}{l} \;\; ,\;\; \left(k,l \right)=1 \Rightarrow k^2=2\cdot 15l^2$

Όμως λόγω της παραπάνω σχέσης o

διαιρείται αναγκαστικά με τo

και άρα και ο

. Άτοπο αφού οι k,l

είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Tolaso J Kos · #3

Και μία άλλη λύση... η οποία είναι στο ίδιο κύμα με του κ. Χρήστου.

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}}$ .
Τότε :
$\displaystyle{\left ( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right )^2=\frac{p^2}{q^2}-2\sqrt{5}\frac{p}{q}+5\iff}$
$\displaystyle{\iff2\sqrt{6}=\frac{p^2}{q^2}-2\sqrt{5}\frac{p}{q}\iff}$
$\displaystyle{\iff24=\frac{p^4}{q^4}+20\frac{p^2}{q^2}-4\sqrt{5}\frac{p^3}{q^3}\iff}$
$\displaystyle{\iff\sqrt{5}=\frac{q^3\left ( \frac{p^4}{q^4}+20\frac{p^2}{q^2}-24 \right )}{4p^3}\in \mathbb{Q}}$

Από την τελευταίο παίρνουμε το άτοπο, αφού το πρώτο μέλος είναι άρρητος.
Παραλείπω την απόδειξη, αλλά είναι απλή και γίνεται όπως και στην περίπτωση του $\displaystyle{\sqrt{2}}$ .

Σ. Διονύσης · #4

Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια.

Θεωρούμε τα σύνολα $\displaystyle{S_1=\{n\sqrt{2}\quad | \quad n\sqrt{2}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_2=\{n\sqrt{3}\quad | \quad n\sqrt{3}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_3=\{n\sqrt{5}\quad | \quad n\sqrt{5}\in\mathbb{N}^{*}\} \quad }$ και το σύνολο: $S=S_1+S_2+S_3=\{n(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\quad | \quad n(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\in\mathbb{N}^{*}\}$

Αρκεί να δείξουμε ότι τα S_1,S_2,S_3

είναι κενά σύνολα.

Ας δουλέψουμε στο S_1

για το οποίο θεωρούμε ότι δεν είναι το κενό σύνολο. Τότε θα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο

. Θεωρούμε το $(\sqrt{2}-1)k$ για το οποίο παίρνουμε ότι:

$\displaystyle{(\sqrt{2}-1)k\sqrt{2}=2k-k\sqrt{2}}$

και επειδή $k\in S_1$ το $(\sqrt{2}-1)k$ θα ανήκει και αυτό στο S_1

. Επειδή όμως $(\sqrt{2}-1)k<k$ το S_1

δεν έχει ελάχιστο στοιχείο κάτι που είναι άτοπο.

Επομένως τα S_1

και δουλεύωντας όμοια τα S_2,S_3

είναι τα κενά σύνολα. Αυτό συνεπάγεται ότι και το S=S_1+S_2+S_3

είναι το κενό σύνολο που σημαίνει ότι το $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ είναι άρρητος.

Edit: Προστέθηκε το άστρο στον ορισμό των συνόλων. (Για θετικό ακέραιο

).

#5

Σ. Διονύσης έγραψε:Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια.

Καλησπέρα. Αφού θίξω πως βρισκόμαστε σε περιβάλλον Α' λυκείου, να ρωτήσω μία βασική μου απορία, πέραν του ότι δεν καταλαβαίνω τη λύση:

Γιατί το $S_{1}$ είναι το κενό; Αφού έτσι όπως έχει οριστεί το μηδέν ανήκει σε αυτό.

Σ. Διονύσης · #6

chris_gatos έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια.
Καλησπέρα. Αφού θίξω πως βρισκόμαστε σε περιβάλλον Α' λυκείου, να ρωτήσω μία βασική μου απορία, πέραν του ότι δεν καταλαβαίνω τη λύση:

Γιατί το $S_{1}$ είναι το κενό; Αφού έτσι όπως έχει οριστεί το μηδέν ανήκει σε αυτό.

Καλησπέρα.
Συγγνώμη από βιασύνη δεν έβαλα το άστρο στο $\mathbb{N}$ .
Το S_1

είναι κενό διότι κάθε σύνολο με θετικά ακέραια στοιχεία έχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Όμως με αυτό το τρόπο αποδείξαμε ότι τελικά δεν έχει κάποιο ελάχιστο στοιχείο, άρα τα $n\sqrt{2}$ δεν είναι ακέραιοι κλπ..

#7

Σ. Διονύσης έγραψε:Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια.

Θεωρούμε τα σύνολα $\displaystyle{S_1=\{n\sqrt{2}\quad | \quad n\sqrt{2}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_2=\{n\sqrt{3}\quad | \quad n\sqrt{3}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_3=\{n\sqrt{5}\quad | \quad n\sqrt{5}\in\mathbb{N}^{*}\} \quad }$ και το σύνολο: $S=S_1+S_2+S_3=\{n(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\quad | \quad n(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\in\mathbb{N}^{*}\}$

Αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι κενά σύνολα.

Ας δουλέψουμε στο για το οποίο θεωρούμε ότι δεν είναι το κενό σύνολο. Τότε θα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο . Θεωρούμε το $(\sqrt{2}-1)k$ για το οποίο παίρνουμε ότι:

$\displaystyle{(\sqrt{2}-1)k\sqrt{2}=2k-k\sqrt{2}}$

και επειδή $k\in S_1$ το $(\sqrt{2}-1)k$ θα ανήκει και αυτό στο . Επειδή όμως $(\sqrt{2}-1)k<k$ το δεν έχει ελάχιστο στοιχείο κάτι που είναι άτοπο.

Επομένως τα και δουλεύωντας όμοια τα είναι τα κενά σύνολα. Αυτό συνεπάγεται ότι και το είναι το κενό σύνολο που σημαίνει ότι το $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ είναι άρρητος.

Edit: Προστέθηκε το άστρο στον ορισμό των συνόλων. (Για θετικό ακέραιο ).

Γνωρίζω την τεχνική που χρησιμοποιείς. Δεν καταλαβαίνω αυτά που έχω κοκκινήσει.

#8

Χμμμμ.

H απόδειξη έχει πρόβλημα σε αυτό το βήμα:

Σ. Διονύσης έγραψε:<...> Αυτό συνεπάγεται ότι και το είναι το κενό σύνολο που σημαίνει ότι το $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ είναι άρρητος.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Το πρώτο μέρος της απόδειξης (περί S_1

) περιττεύει γιατί απλά δείχνει (με επιτιδευμένο τρόπο που κάνει τα εύκολα δύσκολα) το γνωστότατο αποτέλεσμα ότι η $\sqrt 2$ είναι άρρητος αριθμός. Τέτοιες αποδείξεις υπάρχουν πολλές. Για παράδειγμα είχα παλαιότερα αναρτήσει στο φόρουμ

διαφορετικές αποδείξεις συμπεριλαμβανομένης και της παραπάνω, χωρίς τα επιτηδεύματα, αλλά άντε βρες τις.

Επί της ουσίας τώρα, στο σημείο που απομόνωσα παραπάνω. Ίσως ο ευκολότερος τρόπος να φανεί το λογικό σφάλμα είναι με παρεμφερές παράδειγμα:

Εύκολα βλέπουμε ότι τα σύνολα

$\displaystyle{T_1=\{ n\sqrt 2 \,| \,n \sqrt 2 \in \mathbb N ^* \} }$ και $\displaystyle{T_2=\{ n(2-\sqrt 2 ) \,| \, n(2- \sqrt 2 ) \in \mathbb N ^* \} }$

είναι κενά. 'Ομως δεν σημαίνει ότι είναι κενό και το σύνολο

$\displaystyle{T =T_1+T_2 = \{ n ( \sqrt 2+ 2-\sqrt 2)\, |\, n ( \sqrt 2+ 2-\sqrt 2) \, \in \mathbb N ^* \} }$

Το τελευταίο ισούται με το $\displaystyle{\{ 2n \, |\, 2n \in \mathbb N ^* \} }$ που βέβαια είναι απειροσύνολο, πάντως όχι κενό.

Μ.

Άρρητος

Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Re: Άρρητος

Μέλη σε σύνδεση