'Aσκηση στό τριώνυμο

[rastaffari]

Καλησπέρα
Εαν οι εξισώσεις


με a,b,c πραγματικόι αριθμοί και
έχουν μια κοινή ρίζα τότε οι άλλες δύο ρίζες είναι ρίζες της εξίσωσης

[chris_gatos]

Καλησπέρα Παναγιώτη.

Αν ρ η κοινή τους ρίζα τότε:


Τότε προφανώς στην πρώτη η άλλη ρίζα είναι η b, ενώ στη δεύτερη η άλλη ρίζα είναι η α.

Αυτό το καταλαβαίνουμε απο τον τύπο του γινομένου των ριζών τριωνύμου.

Η εξίσωση που έχει για ρίζες τις α,b είναι η :



όμως απο κάποια απο τις δυο αρχικές λαμβάνω:

, για c διαφορετικό απο το μηδέν φυσικά.

Τότε η εξίσωση γίνεται:

δηλαδή η ζητούμενη.

Αν c=0 τότε θα προέκυπτε πως:
Η ρ=0 είναι η κοινή τους ρίζα ενώ οι μη κοινές θα ήταν οι -α,-b και πάλι θα ικανοποιούνταν η ζητούμενη με την προϋπόθεση πως

οι α,b είναι ετερόσημοι αριθμοί ή ο ένας απο τους δύο να είναι το μηδέν ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικούς.

Παναγιώτη μήπως θα έπρεπε να το είχαμε δώσει στην αρχή ως δεδομένο;

[Κώστας Μαλλιάκας]

Έστω ρ1, ρ2 οι ρίζες της Ε1 και ρ1, ρ3 οι ρίζες της Ε2. Τότε ισχύουν τα παρακάτω:
ρ1+ρ2= -a (1)
ρ1+ρ3= -b (2)
ρ1ρ2= bc (3)
ρ1ρ3= ac (4)
και

και με αφαίρεση κατά μέλη τελικά έχω ρ1=c.
Από 1,2,3,4 για c διάφορο του μηδενός έχω ρ2=--a-c , ρ2= b , ρ3=-b-c, ρ3= a οπότε
ρ2ρ3= ab και ρ2+ρ3=a+b αλλά και ρ2+ρ3=-a-b-2c και έτσι a+b=-a-b-2c οπότε και a+b=-c
Άρα ρ2+ρ3=-c και τελικά ρ2,ρ3 είναι οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης με βάση τύπους Vieta.
Eλέγχω για c=0 , κοινή ρίζα το 0 και πρέπει να δοθούν κάποιοι περιορισμοί για τα a,b.

Ωχ!! Μόλις είδα ότι με πρόλαβε ο Χρήστος...