Μεγάλο άθροισμα από μεγάλο γινόμενο

#1

Έστω

με $ab\ge a+b$ . Δείξτε ότι $a+b\ge 4$

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Γυμνάσιο).

Orestisss · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2024 11:44 am
Έστω με $ab\ge a+b$ . Δείξτε ότι $a+b\ge 4$

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Γυμνάσιο).

Από την δοθείσα σχέση και ΑΜ ΓΜ:
$ab \ge a+b, a+b\ge 2\sqrt{ab}$ , προκύπτει $ab\ge 2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow ab\ge 4 \Rightarrow 2\sqrt{ab}\ge 4$ .
Επομένως, $4\leq 2\sqrt{ab} \leq a+b \Rightarrow a+b\ge 4$ .

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2024 11:44 am
Έστω με $ab\ge a+b$ . Δείξτε ότι $a+b\ge 4$

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Γυμνάσιο).

Σωστή η λύση του Ορέστη, αλλά και αρκετή φασαρία για απλή άσκηση. Πιο εύκολα, από την γνωστή ανισότητα (*) και από την υπόθεση (**)

στο παρακάτω, έχουμε

$(a+b)^2 \ge ^{(*)}4ab \ge ^{(**)} 4(a+b)$ από όπου $a+b\ge 4$

Μεγάλο άθροισμα από μεγάλο γινόμενο

Μεγάλο άθροισμα από μεγάλο γινόμενο

Re: Μεγάλο άθροισμα από μεγάλο γινόμενο

Re: Μεγάλο άθροισμα από μεγάλο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση