Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

#1

Δείξτε ότι για κάθε $a,\, b \in \mathbb R$ ισχύει $a^2+b^2+ab \ge 3(a+b-1)$ .

Ψάχνω λύση με χρήση των ιδιοτήτων του τριωνύμου και άλλη μία, χωρίς χρήση τριωνύμου.

KARKAR · #2

: Ανισότητα Λάμπρου.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Μία λύση εντελώς εκτός φακέλου . Για σταθερό

θεωρώ την συνάρτηση : f(x)=x^2+ax+a^2

, της οποίας

η εφαπτομένη στο σημείο

, εύκολα βρίσκουμε ότι έχει εξίσωση : y=(2k+a)x+a^2-k^2

.

Θεωρούμε επίσης την ευθεία $\varepsilon$ : y=3(x+a-1)=3x+3a-3

.

Στόχος να δείξουμε ότι η ευθεία $\varepsilon$ , βρίσκεται πάντα κάτω από την παράλληλή της εφαπτομένη

ή στην καλύτερη περίπτωση ταυτίζονται .

Λόγω της ίδιας κλίσης πρέπει : $k=\dfrac{3-a}{2}$ , οπότε το ζητούμενο γράφεται :

$\dfrac{3a^2+6a-9}{4}\geq 3a-3\Leftrightarrow a^2-2a+1\geq 0$ , το οποίο ισχύει ,

με την ισότητα για : a=1

.

#3

AΑς δούμε πρώτα μια λύση χωρίς τριώνυμο

Έχουμε: $\displaystyle{a^2 +b^2 +ab -3a-3b+3= a^2 -2a +1 +b^2 -2b +1 +ab -a -b +1 = }$

$\displaystyle{(a-1)^2 + (b-1)^2 +a(b-1)-(b-1)=}$

$\displaystyle{(a-1)^2 + (b-1)^2 + (a-1)(b-1)= \frac{1}{2}[2(a-1)^2 + 2(b-1)^2 +2(a-1)(b-1)]=}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}[(a-1)^2 + (b-1)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 + 2(a-1)(b-1)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}[(a-1)^2 + (b-1)^2 + (a-1 +b-1)^2] \geq 0}$

Άρα $\displaystyle{a^2 + b^2 +ab \geq 3(a+b-1)}$

Με την χρήση τώρα τριωνύμου (π.χ ως προς $\displaystyle{a}$ ), είναι απλό για μαθητές Α Λυκείου και την αφήνω να την προσπαθήσουν όσοι από αυτούς ενδιαφέρονται.

Τσιαλας Νικολαος · #4

Καλησπέρα κύριε Μιχάλη. Με διακρίνουσα βγαίνει απευθείας νομίζω.

#5

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 14, 2022 7:36 pm
Καλησπέρα κύριε Μιχάλη. Με διακρίνουσα βγαίνει απευθείας νομίζω.

Νίκο, ναι, ακριβώς αυτό. Γι' αυτό ζήτησα και λύση χωρίς τριώνυμο, για να μην την σκοτώσει κανείς μονολεκτικά. Συγκεκριμένα, η αποδεικτέα γράφεται

$a^2+(b-3)a+(b^2-3b+3)\ge 0$ .

Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα $-3(b-1)^2 \le 0$ , και λοιπά.

Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Re: Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Re: Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Re: Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Re: Ανισότητα με ή χωρίς τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση