Ανισότητες με απόλυτα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Αν

πραγματικοί για τους οποίους ισχύουν

|a|<|b|

και

τότε να δείξετε ότι

1) 3|a|>|a+b|

2)

Ορέστης Λιγνός · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 11:31 am
Αν πραγματικοί για τους οποίους ισχύουν

και

τότε να δείξετε ότι

1)

2)

Έξυπνη!

Έστω, $|a|=x, \, |b|=y$ . Τότε x<y

και

(είναι $x<y \Rightarrow x^2<y^2$ , οπότε |x-y|=y-x

). Αν

τότε

, άτοπο. Επίσης αν y=0

τότε

, άτοπο. Έστω λοιπόν x,y>0

.

α) Από την τριγωνική ανισότητα, $|a+b| \leqslant |a|+|b|=x+y$ , άρα αρκεί να δείξω ότι 3x >x+y

, δηλαδή ότι 2x>y

. Έστω πως $y \geqslant 2x$ . Τότε,

$xy=y^2-x^2=(y-x)(y+x) \geqslant x(y+x)>xy$ , άτοπο.

β) Είναι, $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab \leqslant x^2+2xy+y^2$ , άρα αρκεί 5xy>x^2+y^2+2xy

, ή αλλιώς ότι 3xy>x^2+y^2

. Όμως, είναι

3xy=xy+2xy=y^2-x^2+2xy>y^2-x^2+2x^2=y^2+x^2

, καθώς

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Είναι η άσκηση 95 από τις 1000 γενικές ασκήσεις Αλγεβρας του Ι.Μαντά στο κεφάλαιο Αριθμοί.
Υπάρχει άλλη λύση εκεί διαφορετική από αυτή που έκανε ο Ορέστης.
Η δική μου λύση είναι σε διαφορετικό πνεύμα.
Εχουμε ομοιογένεια
Ειναι $b\neq 0$
θέτουμε
$x=\frac{a}{b}$
Είναι
$|x|< 1,|x^{2}-1|=|x|$
βρίσκουμε το

κλπ

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 11:31 am
Αν πραγματικοί για τους οποίους ισχύουν

και

τότε να δείξετε ότι

1)

2)

Αλλιώς: Είναι $a\ne 0$ (αλλιώς η δοθείσα δίνει b=0

που δεν το επιτρέπει η υπόθεση). Θέτουμε $x= \frac {|b|}{|a|}$ , οπότε x>1

. H υπόθεση γίνεται |1-x^2|=x

, ισοδύναμα x^2-1=x

και άρα $x= \frac {1}{2} (1+\sqrt 5)$ .

Για το αποδεικτέο 1) λέμε $|a+b|\le |a|+|b|=|a|(1+x) = |a|(1+ \frac {1+\sqrt 5}{2} )<|a| (1+ \frac {1+3}{2} )=3|a|$

To 2) παρόμοια με χρήση του x^2=x+1

και του

:

$(a+b)^2 = |a|^2(1+ b/a)^2 = |a|^2( 1+2 b/a+ b^2/a^2) \le |a|^2( 1+2 x+ x^2)=$

=|a|^2(2+3x) < |a|^2(2x+3x)= 5|a||b|

Edit: Tώρα βλέπω την υπόδειξη του Σταύρου που ουσιαστικά δείχνει τον δρόμο για την ίδια λύση με αυτή που γράφω (με 1/x

στην θέση του δικού μου

).

Ανισότητες με απόλυτα

Ανισότητες με απόλυτα

Re: Ανισότητες με απόλυτα

Re: Ανισότητες με απόλυτα

Re: Ανισότητες με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση