Τέμνονται πάνω στην τέμνουσα

[KARKAR]

Πάνω στην τέμνουσα.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

Από σημείο εκτός κύκλου , φέρουμε τις εφαπτόμενες και τυχούσα τέμνουσα και

ονομάζουμε το μέσο του . Εκατέρωθεν της τέμνουσας και με κοινή πλευρά την

κατασκευάζουμε ίσες (οξείες) γωνίες των οποίων οι νέες πλευρές τέμνουν τις δύο εφαπτόμενες

στα . Δείξτε ότι οι άλλες εφαπτόμενες από τα τέμνονται πάνω στην τέμνουσα .

[min##]

Λίγο ανορθόδοξα..
Με το κέντρο του κύκλου,την τομή και κύκλου και την τομή και κύκλου,βγαίνει απλά ότι τα είναι ομοκυκλικά,που σημαίνει ότι
.

Τώρα,σταθεροποιώ την και μετακινώ το κατά μήκος της εφαπτομένης,ενώ παράλληλα παίρνω το ως το συμμετρικό της ως προς την .Η ακολουθία των και η αντίστοιχη των δημιουργούν ίσους διπλούς λόγους στις ευθείες που κινούνται επειδή βλέπονται υπό ίσες γωνίες από το .Με ένα απλό τσεκάρισμα,όταν το πέσει στο ,το πέφτει στο επίσης.
Το τελευταίο σημαίνει ότι ο προβολικός μετασχηματισμός που συνδέει τις ακολουθίες σημείων(σημειοσειρές καλύτερα) είναι ουσιαστικά μια προοπτικότητα με σταθερό κέντρο .
Όταν το πέσει στο ,λόγω της διχοτόμισης της από την ,το θα πέσει πάνω στο .Άρα το είναι η τομή των

Αν πάρω για την τομή της καθέτου από το στην , με τον κύκλο,προκύπτει ότι κάθετες,δηλαδή πολική του .






Αν τώρα η άλλη εφαπτομένη από το τέμνει τον κύκλο στο , και η αντίστοιχη από το στο , με δύο Pascal,στα προκύπτει ότι οι συντρέχουν,δηλαδή ότι καθώς τα μεταβάλλονται,η περνάει από το σταθερό σημείο .Αυτό σημαίνει ότι το σημείο διαγράφει την πολική του (όχι ολόκληρη απαραίτητα).Αν όμως μεταφέρω το στην τομή των,είναι φανερό ότι το σημείο ταυτίζεται με το σημείο ,ενώ για θα είναι .Το τελευταίο αποδεικνύει το ζητούμενο...

Edit:Πώς μπορώ να βάζω φυσιολογικότερο σχήμα;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

ίσες γωνίες 2.png (33.25 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Εναλλακτικά:

Έστω το σημείο που η εφαπτόμενη από το τέμνει την . Αν η άλλη εφαπτόμενη από το τέμνει την στο τότε αρκεί να ισχύει ότι , έτσι ώστε και .

Άρα το πρόβλημα μπορεί να γίνει ισοδύναμα:

Έστω ένα περιγράψιμο τετράπλευρο και έστω πως η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα . Τότε να αποδειχθεί πως , όπου το μέσο του (η ισοδυναμία ισχύει από τα παραπάνω).

Έστω πως ο κύκλος εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα.

Έστω πως οι και τέμνονται στο σημεία .

Ισχύει ότι το ανήκει στις πολικές των και αντίστοιχα, επομένως από ισχύει ότι η πολική του είναι η .

Επομένως αν το κέντρο του κύκλου, ισχύει ότι , οπότε ισχύει ότι .

Έστω πως η τέμνει τη στο .

Είναι ακόμα γνωστό πως τα σημεία είναι συνευθειακά (*).

Οπότε αν αποδείξουμε πως , τότε αφού , θα ισχύει ότι .

Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή πως η δέσμη είναι αρμονική, δηλαδή αν η τέμνει την στο L, θα αρκεί .

Όμως το ανήκει στην πολική του , που είναι η , άρα το ζητούμενο έπεται.

Λεπτομερώς το (*)

Έστω πως οι και τέμνονται στο (Βασικά αυτό το σημείο ταυτίζεται με το αλλά δεν μας ενδιαφέρει). Από στο προκύπτει πως τα σημεία είναι συνευθειακά. Από στο παίρνουμε ότι τα είναι συνευθειακά. Οπότε τα είναι συνευθειακά.