ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΜΕ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Στο mathematica έχουμε αναδείξει τον μετασχηματισμό της διαμέσου. Ας μην τον ξεχάσουμε...

Έστω τρίγωνο ABC

και ας είναι $r_{m}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που ορίζεται από τις διαμέσους του τριγώνου ABC

.

Αποδείξτε ότι $\displaystyle r_{m}\leq \frac{s}{6}$

#2

Είναι γνωστό ότι για την ακτίνα ισχύει $\displaystyle{r_m=\frac{3(ABC)}{2\sum m_a},}$ οπότε η αποδεικτέα γίνεται

$\displaystyle{\sum m_a\geq 9r.}$ Αυτή είναι γνωστή και αποδεικνύεται με διάφορους τρόπους. Λ.χ. προκύπτει άμεσα από την γενικότερη ανισότητα

$\displaystyle{PA+PB+PC\geq 6r,}$ για $\displaystyle{P\equiv G.}$

Μάλιστα, μια ισχυρότερη εκδοχή της αρχικής ανισότητας είναι και η

$\displaystyle{\boxed{r_m\leq \frac{s}{2}\sqrt{\frac{r}{4R+r}}}}$

ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΜΕ...

ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΜΕ...

Re: ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΜΕ...

Μέλη σε σύνδεση