Ανισότητα με π

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Έστω $a\geq 1$ και

θετικός φυσικός.
Να δείξετε ότι $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n+a}(\frac{a}{n})^{\frac{1}{2}}< \pi$
.

Tolaso J Kos · #2

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{\left ( x+a \right ) \sqrt{x}}}$ . Επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα έπεται ότι για κάθε $k \in \mathbb{N}$ και $x \in [k-1, k]$ :

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \geq \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \\ &= \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \left( k - (k-1) \right)\\ & \leq \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+a} \sqrt{\frac{a}{k}} & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+a} \frac{1}{\sqrt{k}} \\ & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \left( k-(k-1) \right) \\ & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \\ & = \sqrt{a} \int_{0}^{n} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x + a \right) \sqrt{x}} \\ & < \sqrt{a} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \\ & = \sqrt{a} \frac{\pi}{\sqrt{a}} \\ & = \pi \end{aligned}}$
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος. Κάτι μου θυμίζει αυτή η άσκηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 10, 2025 6:22 pm
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{\left ( x+a \right ) \sqrt{x}}}$ . Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα έπεται ότι για κάθε $k \in \mathbb{N}$ και $x \in [k-1, k]$ :

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \geq \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \\ &= \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \left( k - (k-1) \right)\\ & \leq \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+a} \sqrt{\frac{a}{k}} & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+a} \frac{1}{\sqrt{k}} \\ & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left( k+a \right) \sqrt{k}} \left( k-(k-1) \right) \\ & = \sqrt{a} \sum_{k=1}^{n} \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \\ & = \sqrt{a} \int_{0}^{n} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x + a \right) \sqrt{x}} \\ & < \sqrt{a} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{\left( x+a \right) \sqrt{x}} \\ & = \sqrt{a} \frac{\pi}{\sqrt{a}} \\ & = \pi \end{aligned}}$
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος. Κάτι μου θυμίζει αυτή η άσκηση.

Εντάξει είναι Τόλη.
Ευτυχως γιατί η δική μου λύση είναι με Γεωμετρία.
Δηλαδή στο τεταρτοκύκλιο παίρνεις κατάλληλα σημεία και μετά με εμβαδα βγαίνει.

Ανισότητα με π

Ανισότητα με π

Re: Ανισότητα με π

Re: Ανισότητα με π

Μέλη σε σύνδεση