Συνάρτηση

2nisic · #1

Να βρεθει η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy

#2

Για

παίρνω

. (1)

Για x=y=t

παίρνω

. Άρα έχω και f(t)^2 = t^2 + f(0)^2

για κάθε $t \in \mathbb{R}$ . (2)

Για x=t,y=0

παίρνω

. Αυτό ισχύει για κάθε $t \in \mathbb{R}$ . (3)

Έστω f(0) = a

. Από την (1) παίρνω f(a) = a^2

. Άρα από τη (2) για t=a

παίρνω

που δίνει $a=0,\pm \sqrt{2}$ . Από την (3) για t=a

παίρνω

. Αν τώρα $a \neq 0$ τότε θα έχω $f(2) = 2 + a = 2 \pm \sqrt{2}$ . Από την (2) όμως για t=2

θα έχω

. Αυτό είναι άτοπο, άρα a=0

.

Από τη (2) τώρα, για κάθε $t \in \mathbb{R}$ θα έχω f(t) = t

ή

. Επίσης, η (3)

γίνεται

για κάθε $t \in \mathbb{R}$

Για x=0,y=-t

παίρνω

και από την (3) παίρνω f(-t) = -f(t)

για κάθε $t \in \mathbb{R}$ . (4)

Αν τώρα f(c) = -c

για κάποιο $c \in \mathbb{R}$ , τότε από την (4), για t=c

, έχω

. Από την (3) όμως, για t=c

, έχω

. Άρα αναγκαστικά c=0

οπότε είναι και f(c) = c

.

Άρα

για κάθε $t \in \mathbb{R}$ .

2nisic · #3