Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

ksofsa · #1

Με αφορμή αυτό το θέμα, ας βρεθεί το ελάχιστο της παρακάτω παράστασης:

$P(x,y,z)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{z-1}$ ,

δεδομένων των συνθηκών x,y,z> 1,xyz=x+y+z

.

Σχόλιο: Το θέμα ίσως να είναι για το φάκελο της προχωρημένης άλγεβρας Seniors. Έχω μόνο μία λύση (τη λύση κατά την κατασκευή) και δεν μπορώ να κάνω ακριβή εκτίμηση της δυσκολίας. Εικάζω ότι ,δεδομένης της απλότητας των αλγεβρικών εκφράσεων του προβλήματος, θα υπάρχει ευκολότερη λύση.

#2

Θέτουμε

και παίρνουμε ab+bc+ca = 1

. Αυτό δίνει ότι υπάρχει οξυγώνιο τρίγωνο ABC

ώστε $a = \cot{A}, b = \cot{B}, c = \cot{C}$ . Τότε $x = \tan{A}, y = \tan{B}, z = \tan{C}$ . Επειδή x,y,z > 1

, τότε $A,B,C \in (\pi/4,\pi/2)$ .

Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση

$\displaystyle \frac{1}{\tan{A}-1} + \frac{1}{\tan{B}-1} + \frac{1}{\tan{C}-1}$

για $A,B,C \in (\pi/4,\pi/2)$ με $A+B+C = \pi$ .

Η παράσταση $\displaystyle f(t) = \frac{1}{\tan{t}-1}$ είναι κυρτή στο $(\pi/4,\pi/2)$ . Πράγματι έχουμε

$\displaystyle \displaystyle f'(t) = -\frac{\sec^2(x)}{(\tan{x}-1)^2} = -\frac{1}{(\sin{x}-\cos{x})^2}.$

Όμως στο $(\pi/4,\pi/2)$ η $\sin{t}$ είναι αύξουσα και η $\cos{t}$ φθίνουσα, άρα η $\sin{t}-\cos{t}$ είναι αύξουσα. Είναι επίσης θετική άρα και η $(\sin{t}-\cos{t})^2$ είναι αύξουσα. Το ίδιο θα ισχύει και για την f'(t)

.

Τώρα από την ανισότητα Jensen έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{\tan{A}-1} + \frac{1}{\tan{B}-1} + \frac{1}{\tan{C}-1} = f(A) + f(B) + f(C) \geqslant 3f\left(\frac{A+B+C}{3} \right) = \frac{3}{\tan(\pi/3)-1} = \frac{3}{\sqrt{3}-1}}$

Ισότητα αν και μόνο αν $A=B=C = \pi/3$ που δίνει $x=y=z=\sqrt{3}$

#3

Ας το δούμε και διαφορετικά. Γράφουμε $\displaystyle a = \frac{1}{x-1}, b = \frac{1}{y-1}, c = \frac{1}{z-1}.$ Η x+y+z = xyz

γίνεται

$\displaystyle \displaystyle{\frac{a+1}{a} + \frac{b+1}{b} + \frac{c+1}{c} = \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$

Ισοδύναμα έχουμε 3abc + (ab+bc+ca) = abc + (ab+bc+ca) + (a+b+c)+1

που δίνει

.

Έστω $k = \sqrt[3]{abc}$ . Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle 2k^3 \geqslant 3k+1 \implies (k+1)(2k^2-2k+1) \geqslant 0 \implies k \geqslant \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Άρα

$\displaystyle P(x,y,z) = a+b+c \geqslant 3k \geqslant \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}-1}$

ksofsa · #4

Κύριε Δημήτρη, σας ευχαριστώ για τις δύο λύσεις (η πρώτη μεθοδική και η δεύτερη ευφάνταστη). Τη λύση μου , που είναι διαφορετική και χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα στο σύνδεσμο της εκφώνησης, θα τη γράψω μετά από κάποιο σύντομο διάστημα ,γιατί το θέμα είναι πρόσφατο και μπορεί να θέλει και κάποιο άλλο μέλος του φόρουμ να ασχοληθεί.

ksofsa · #5

Πριν δώσω τη λύση που έχω κατά νου, θα δώσω μια μικρή υπόδειξη , που δείχνει και ότι ισχύει ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα από αυτό που ζητείται:

Δεδομένων των συνθηκών της εκφώνησης, ας δειχθεί η διπλή ανισότητα:

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{z-1}\geq \dfrac{3+xyz}{2}\geq \dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$ .

ksofsa · #6

Καλησπέρα.

Δίνω μια λύση για τη διπλή ανισότητα στο προηγούμενο ποστ.

Για την αριστερή ανισότητα:

Θα δείξω αρχικά ότι $\sum \dfrac{1}{x^2-1}\geq \dfrac{3}{2}(1)$ .

Ισοδύναμα, αρκεί:

$\sum \dfrac{yz}{x^2yz-yz}\geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x(x+y+z)-yz}\geq \dfrac{3}{2}$ .

Θέτω a=yz,b=zx,c=xy

και ισοδύναμα αρκεί:

$\sum \dfrac{a}{\frac{bc}{a}+b+c-a}\geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2}{bc+ab+ca-a^2}\geq \dfrac{3}{2}$ .

Όμως, από C-S:

$\sum \dfrac{a^2}{bc+ab+ca-a^2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}\geq \dfrac{3}{2}$ , γιατί η τελευταία ισοδυναμεί με

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ .

Προσθέτω στην (1) την ανισότητα

$\sum \dfrac{x}{x^2-1}\geq \dfrac{\sum x}{2}=\dfrac{xyz}{2}$ (από την άσκηση του συνδέσμου)

και παίρνω τελικά τη ζητούμενη ανισότητα.

Για τη δεξιά ανισότητα:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\geq 3\sqrt{3}$ , από όπου προκύπτει άμεσα η ζητούμενη.

Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση