Πλησιάζοντας τον πυθμένα

KARKAR · #1

: Πλησιάζοντας στον πυθμένα.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

Με κορυφή της ορθής γωνίας το σημείο A(0,5)

και τις

και

σημεία των y=0

και

αντίστοιχα , σχεδιάσαμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

. α) Για ποια θέση του σημείου

το

είναι

και ισοσκελές ; β) Είναι το τρίγωνο ABC

του πρώτου ερωτήματος εκείνο με το ελάχιστο εμβαδόν ;

Eustathia p. · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 14, 2025 11:40 am
Πλησιάζοντας στον πυθμένα.pngΜε κορυφή της ορθής γωνίας το σημείο και τις και σημεία των και

αντίστοιχα , σχεδιάσαμε ορθογώνιο τρίγωνο . α) Για ποια θέση του σημείου το είναι

και ισοσκελές ; β) Είναι το τρίγωνο του πρώτου ερωτήματος εκείνο με το ελάχιστο εμβαδόν ;

Για το πρώτο .

: Πλησιάζοντας τον πυθμένα_a.png (26.59 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές

Αρκεί το

να είναι το συμμετρικό του σταθερού, $D\left( {2,0} \right)$ , σημείου της δεδομένης ευθείας , y = x - 2

.

Τότε $C\left( {5,3} \right)$ , $\overrightarrow {AD} = \left( { - 2, - 5} \right)\,\,\,,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {5, - 2} \right)\,\,$ και $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$ , άρα $\widehat {BAC} = 90^\circ$ . Επί πλέον , $\left( {ABC} \right) = 14,5$ .

#3

Yπάρχει άλλη μία θέση για το ορθογώνιο και ισοσκελές, B(12,0), C(-5,-7).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 14, 2025 11:40 am
Πλησιάζοντας στον πυθμένα.pngΜε κορυφή της ορθής γωνίας το σημείο και τις και σημεία των και

αντίστοιχα , σχεδιάσαμε ορθογώνιο τρίγωνο . α) Για ποια θέση του σημείου το είναι

και ισοσκελές ; β) Είναι το τρίγωνο του πρώτου ερωτήματος εκείνο με το ελάχιστο εμβαδόν ;

Αν θέλουμε λύση του πρώτου μέλους με Αναλυτική, έχουμε $A(0,5), \, B(-b,0), \, C(c,c-2)$ . Η συνθήκη καθετότητας δίνει

$\dfrac {c-7}{-c}\cdot \dfrac {5}{b}=-1$

και η συνθήκη ίσων σκελών δίνει

b^2+5^2=c^2+(c-7)^2

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε (b=2,c=5)

ή

. Κρατάμε την πρώτη αν θέλουμε το σχήμα να είναι όπως στην εικόνα.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 14, 2025 11:40 am
Πλησιάζοντας στον πυθμένα.pngΜε κορυφή της ορθής γωνίας το σημείο και τις και σημεία των και

αντίστοιχα , σχεδιάσαμε ορθογώνιο τρίγωνο . α) Για ποια θέση του σημείου το είναι

και ισοσκελές ; β) Είναι το τρίγωνο του πρώτου ερωτήματος εκείνο με το ελάχιστο εμβαδόν ;

Αν

με

τότε : $C\left( {\dfrac{{35}}{{5 - b}},\,\,\dfrac{{2b + 25}}{{5 - b}}} \right)$ .

$\left( {ABC} \right) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + 25}}{{5 - b}} > 0$ , αν ονομάσω το b = x < 5

έχω τη συνάρτηση $f(x) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{{{x^2} + 25}}{{5 - x}}$

Δείτε ότι $f( - 2) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{{29}}{7} = \dfrac{{29}}{2}$ αλλά παρουσιάζει ελάχιστο για ${x_0} = 5 - 5\sqrt 2 < 5$ το $\boxed{f\left( {{x_0}} \right) = 35\left( {\sqrt 2 - 1} \right) < \frac{{29}}{2}}$ .

Η συνάρτηση $g(x) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{{{x^2} + 25}}{{5 - x}}\,\,\,,\,\,x \ne 5$ δίδεται από δύο κλάδους υπερβολής .
.

: Υπερβολή.png (10.68 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

KARKAR · #6

Παρατηρήστε , ότι ενώ το εμβαδόν του ορθογωνίου και ισοσκελούς είναι 14,500

, το ελάχιστο εμβαδόν

του τριγώνου είναι 14,497

. Έτσι δικαιολογείται ο τίτλος της άσκησης

Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Re: Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Re: Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Re: Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Re: Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Re: Πλησιάζοντας τον πυθμένα

Μέλη σε σύνδεση