Όπως θέλετε

KARKAR · #1

Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x+24}-\sqrt{x-24}$ , με όποιον τρόπο θέλετε .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 7:55 pm
Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x+24}-\sqrt{x-24}$ , με όποιον τρόπο θέλετε .

Ένας τρόπος:

Εδώ $f'(x) = \dfrac {1}{\sqrt {x+24}}-\dfrac {1}{2\sqrt {x-24}}= \dfrac {2\sqrt {x-24}-\sqrt {x+24} }{2\sqrt {x+24}\sqrt {x-24}}$ .

Θέλουμε λοιπόν $2\sqrt {x-24}=\sqrt {x+24}$ που με ύψωση στο τετράγωνο παίρνουμε αμέσως x=40

. Eπίσης εύκολα f'(x) <0

πριν το

και

, μετά. Άρα στο x=40

έχουμε ολικό ελάχιστο, με τιμή $2\sqrt{40+24}-\sqrt{40-24}= 16-4=12$ .

Δεν ξέρω τι νόημα έχει μία άσκηση ρουτίνας που υπάρχει κατά χιλιάδες στα σχολικά βιβλία και βοηθήματα, εκτός αν δεν βλέπω κάτι. Φοβάμαι πως διώχνει τους μαθητές μας που θέλουν κάποια πρόκληση, οσοδήποτε μικρή.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 7:55 pm
Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x+24}-\sqrt{x-24}$ , με όποιον τρόπο θέλετε .

.
Ας δούμε και έναν τρόπο χωρίς παραγώγους: Θέτουμε $a=\sqrt{x+24}, \, b=\sqrt{x-24}$ , οπότε a^2-b^2=48

και θέλουμε το ελάχιστο της 2a-b

. Έχουμε

$=3\cdot 48+(a-2b)^2= 144+(a-2b)^2 \ge 144$ με ισότητα όταν a=2b

.

Δηλαδή έχουμε $a-2b\ge 12$ με ισότητα όταν $\sqrt{x+24} = 2\sqrt{x-24}$ , από όπου x=40

. Άρα το ζητούμενο ελάχιστο είναι

.

Όπως θέλετε

Όπως θέλετε

Re: Όπως θέλετε

Re: Όπως θέλετε

Μέλη σε σύνδεση