Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο

KARKAR · #1

: Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Σημείο

κινείται στην μεγάλη πλευρά

του - $10 \times 6$ - ορθογωνίου ABCD

. Να βρεθεί

η ελάχιστη απόσταση του μέσου

της

, από το ορθόκεντρο

του τριγώνου SAB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 27, 2024 11:15 am
Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο.pngΣημείο κινείται στην μεγάλη πλευρά του - $10 \times 6$ - ορθογωνίου . Να βρεθεί

η ελάχιστη απόσταση του μέσου της , από το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και εφαρμόζοντας τα θεωρήματα διαμέσων στο HAB

είναι:

: Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} H{B^2} - {y^2} = 20x \hfill \\ H{B^2} + {y^2} = 2H{M^2} + 50 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{H{M^2} = {y^2} + 10x - 25}$ (1)

και από το εγγράψιμο HA'BS',

$\displaystyle yAA' = 10(5 - x).$ Αλλά, $\displaystyle (ABC) = 30 \Leftrightarrow AA' = \frac{{60}}{{SB}} = \frac{{60}}{{\sqrt {36 + {{(5 + x)}^2}} }}$

Άρα, $\displaystyle 6y = (5 - x)\sqrt {36 + {{(5 + x)}^2}} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{{{(5 - x)}^2}\left( {36 + {{(5 + x)}^2}} \right)}}{{36}}$ και από την (1)

$\displaystyle H{M^2} = \frac{{{x^4} - 14{x^2} + 625}}{{36}} = \frac{{{{({x^2} - 7)}^2} + 576}}{{36}} = {\left( {\frac{{{x^2} - 7}}{6}} \right)^2} + 16 \geqslant 16$

Επομένως, $\boxed{ H{M_{\min }} = 4}$ όταν $\boxed{x=\sqrt 7}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 27, 2024 11:15 am
Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο.pngΣημείο κινείται στην μεγάλη πλευρά του - $10 \times 6$ - ορθογωνίου . Να βρεθεί

η ελάχιστη απόσταση του μέσου της , από το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο $M\left( {0,0} \right)$ και μοναδιαίο του οριζόντιου άξονα το : $\boxed{\overrightarrow i = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} }$

Έστω , $S\left( {k,6} \right)\,\,,\,\, - 5 \leqslant k \leqslant 5$ και $H\left( {x,y} \right)$ προφανώς $x = k\,\,\left( 1 \right)$ .

Επειδή $\overrightarrow {BS} = \left( {k - 5,6} \right) = \left( {x - 5,6} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {AH} = \left( {x + 5,6\,} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {AH} = 0$

προκύπτει: $\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) + 6y = 0 \Rightarrow {x^2} - 25 + 6y = 0 \Rightarrow \boxed{{x^2} = 25 - 6y\,}\,\,\left( 2 \right)$ ( κλασσική εξίσωση παραβολής )

: Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο με αναλυτική Γεωμ.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Θέλω να υπολογίσω το ελάχιστο της απόστασης $MH = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ . Αρκεί να υπολογίσω το ελάχιστο της παράστασης , ${x^2} + {y^2}$

ή λόγω της $\left( 2 \right)$ το ελάχιστο του τριωνύμου : ${y^2} + 6y + 25 = {y^2} - 6y + 9 + 16 = {\left( {y - 3} \right)^2} + 16 \geqslant 16 = {4^2}$ .

Προς τούτο αρκεί ${y_0} = 3$ . ή λόγω της $\left( 2 \right)$ , $x_0^2 = 25 - 18 = 7 \Rightarrow \boxed{{x_0} = \pm \sqrt 7 }$ και προφανώς $\boxed{M{H_{\min }} = 4}$ .

Παρατήρηση : η παραβολή με εξίσωση : $6y = 25 - {x^2}$ γράφεται: ${x^2} = - 6\left( {y - \dfrac{{25}}{6}} \right)$ και αν θέσω , $x = X\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Y = y - \dfrac{{25}}{6}$

Μετασχηματίζεται στην $\boxed{{X^2} = 2\left( { - 3} \right)Y}$ κι έχει κορυφή το σημείο $K\left( {0,\dfrac{{25}}{6}} \right)$ εστία $E\left( {0,\dfrac{{16}}{6}} \right)$ και διευθετούσα , την ευθεία : $y = \dfrac{{17}}{3}$ .

Δυστυχώς παντελώς άγνωστα σήμερα στους μαθητές .

Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο

Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο

Re: Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο

Re: Προσεγγίζοντας το ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση