Ώρα εφαπτομένης 180

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 180.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Στο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, εντοπίστε σημείο

, ώστε :

$\widehat{ASC}=90^\circ ,\widehat{BSC}=120^\circ$ και εν συνεχεία , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Nikitas K. · #2

Αποσύρω το συλλογισμό

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 21, 2024 11:48 am
Ώρα εφαπτομένης 180.pngΣτο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , ώστε :

$\widehat{ASC}=90^\circ ,\widehat{BSC}=120^\circ$ και εν συνεχεία , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Ανάλυση
Εστω ο κύκλος διαμέτρου

AC,

και κέντρου

το μέσο της πλευράς

,

κόκκινος και ο κύκλος διαμέτρου $BL=LC=\dfrac{a}{2},$

και κέντρου $I ,IB=IC=\dfrac{a}{4}$

H τομή τους ορίζει το σημείο

Πράγματι από το εγγράψιμο τετράπλευρο

$ASLC,\hat{LAC}=\hat{SLC}=30^{0},\hat{SCL}=30-\omega ,\hat{BSL}=90,\hat{BSC}=120, \hat{BSA}=150^{0},$

Για τον υπολογισμό της εφαπτομένης $\theta$

$\omega +\theta =30,(*),$

Από τα τρίγωνα $SAC,SBL,SL=\dfrac{xz}{\psi },(1),$

όπου $SA=x,SC=\psi ,SB=z$ ,

$x^{2}+y^{2}=a^{2},(2),SL^{2}+z^{2}=\dfrac{a^{2}}{4},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{z}{y}=\dfrac{1}{2},SL=\dfrac{x}{2},$

Στο τρίγωνο
SBC

απο νόμο ημίτονων

, $tan\omega=\dfrac{\sqrt{3}}{9}, (*)\Rightarrow tan\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 21, 2024 11:48 am
Ώρα εφαπτομένης 180.pngΣτο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , ώστε :

$\widehat{ASC}=90^\circ ,\widehat{BSC}=120^\circ$ και εν συνεχεία , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Για την κατασκευή. Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου.

: Εφ-180.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

O κύκλος που διέρχεται από τα σημεία B, O, C

τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο ζητούμενο σημείο

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 21, 2024 11:48 am
Ώρα εφαπτομένης 180.pngΣτο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , ώστε :

$\widehat{ASC}=90^\circ ,\widehat{BSC}=120^\circ$ και εν συνεχεία , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

α) «Απέναντι» στο ισόπλευρο $\vartriangle ABC$ ( με κοινή βάση

) σχεδιάζω το ίσο ισόπλευρο τρίγωνο , $\vartriangle DCB$ .

Το ημικύκλιο $,\,\,\Omega \,\,,$ διαμέτρου

και ο κύκλος $,\,\,U\,,$ του τριγώνου $\left( {C,B,D} \right)$ τέμνονται στο

.

β) Η γωνία $\theta = \widehat {ABS} = \widehat {SCB} = {\theta _1}$ ( Χορδής κι εφαπτομένης) .

Έστω τώρα

το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου ABDC

, $T\,\,,\,\,E$ τα σημεία τομής του κύκλου

με το

και των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ . Θέτω : $AT = x\,\,,\,\,TE = y\,\,,\,\,EM = z\,\,$ και την πλευρά του ρόμβου , ABDC

με

.

Η τετράδα $\left( {A,M\backslash T,D} \right)$ , είναι αρμονική , με αρμονική αναλογία , $\dfrac{{TM}}{{TA}} = \dfrac{{DM}}{{DA}} = \dfrac{1}{2}$ και άρα ταυτόχρονα θα έχω :

: Ωρα εφαπτομένης 180_new.png (40.77 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x = 2\left( {y + z} \right) \hfill \\ MT \cdot MD = MC \cdot MB = \left( {y + z} \right)a\sqrt 3 = {a^2} \hfill \\ y\left( {z + a\sqrt 3 } \right) = EC \cdot ES = z\left( {x + y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ δηλαδή: $\left\{ \begin{gathered} x = 2\left( {y + z} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \left( {y + z} \right)\sqrt 3 = a\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ a\sqrt 3 y = xz\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ , $x = 2\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$ και λόγω της $\left( 3 \right)$ $y = 2\dfrac{z}{3}$ , οπότε η $\left( 2 \right)$ δίδει : $z = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$ . Έτσι $\boxed{\tan \theta = \tan {\theta _1} = \dfrac{{ME}}{{MC}} = \dfrac{z}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 21, 2024 11:48 am
Ώρα εφαπτομένης 180.pngΣτο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , ώστε :

$\widehat{ASC}=90^\circ ,\widehat{BSC}=120^\circ$ και εν συνεχεία , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Ο κύκλος

και το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνονται στο ζητούμενο σημείο

Με

συμμετρικό του

ως προς

το

είναι παραλ/μμο άρα $\angle BEC=120^0 \Rightarrow ABEC$ εγγράψιμμο ,

συνεπώς όλες οι 30-άρες γωνίες είναι ίσες ,επομένως $\angle BSD=90^0$ και προφανώς $\angle CBE= \theta$

Με BS=x,SD=y

ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο BCS

δίνει $a^2=7x^2\Rightarrow x^2= \dfrac{a^2}{7}$ οπότε (Π.Θ στο $\triangle BSD$ ) $y^2=\dfrac{3a^2}{28}$

Στο εγράψιμμο BSZE

ισχύει $y^2= \dfrac{a}{2} DZ\Rightarrow \dfrac{3a^2}{28}= \dfrac{a}{2}DZ \Rightarrow DZ= \dfrac{3a}{14} \Rightarrow BZ= \dfrac{5a}{7}$

$\dfrac{AD}{EZ}= \dfrac{(ABC)}{(BEC)}= \dfrac{a^2}{2x^2} = \dfrac{a^2}{ \dfrac{2a^2}{7} } = \dfrac{7}{2} \Rightarrow EZ= \dfrac{2AD}{7} =\dfrac{a \sqrt{3} }{7}$

Τώρα $tan \theta = \dfrac{EZ}{BZ}= \dfrac{ \sqrt{3} }{5}$

: ώρα εφαπτομένης 180.png (79.88 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Ώρα εφαπτομένης 180

Ώρα εφαπτομένης 180

Re: Ώρα εφαπτομένης 180

Re: Ώρα εφαπτομένης 180

Re: Ώρα εφαπτομένης 180

Re: Ώρα εφαπτομένης 180

Re: Ώρα εφαπτομένης 180

Μέλη σε σύνδεση