Μεγιστοποίηση μεγίστου

KARKAR · #1

Για τον θετικό

, ορίζουμε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{(a+1)x+a}{x^2+a^2+1}$ . Βρείτε τα ακρότατα

της συνάρτησης και την εκείνη τιμή του

, για την οποία μεγιστοποιείται το μέγιστο της

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 27, 2024 9:28 pm
Για τον θετικό , ορίζουμε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{(a+1)x+a}{x^2+a^2+1}$ . Βρείτε τα ακρότατα

της συνάρτησης και την εκείνη τιμή του , για την οποία μεγιστοποιείται το μέγιστο της .

Πολλές πράξεις, οπότε θα τις συντομεύσω.

$\displaystyle \frac{{(a + 1)x + a}}{{{x^2} + {a^2} + 1}} = y \Leftrightarrow y{x^2} - (a + 1)x + ({a^2}y + y - a) = 0$ (1)

Η

είναι δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

και για να έχει έχει λύση θα πρέπει

$\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 4({a^2} + 1){y^2} - 4ay - {(a + 1)^2} \leqslant 0$ που είναι ανίσωση 2ου βαθμού ως προς

$\displaystyle \Delta ' = 16({a^4} + 2{a^3} + 3{a^2} + 2a + 1) = {\left( {4({a^2} + a + 1)} \right)^2},$ με ρίζες $\displaystyle {y_{1,2}} = \frac{{a \pm ({a^2} + a + 1)}}{{2({a^2} + 1)}}$

Άρα, $\boxed{ - \frac{1}{2} \leqslant y \leqslant \frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{2}}$ που είναι και τα ακρότατα της

Εύκολα βρίσκω

ότι στο μέγιστο αντιστοιχεί η τιμή $x=\dfrac{a^2+1}{a+1}$ και στο ελάχιστο x=-a-1.

$\displaystyle \frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{2} \leqslant \frac{a}{{2a}} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{\left( {\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{2}} \right)_{\max }} = 1}$ όταν $\boxed{a=1}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 27, 2024 9:28 pm
Για τον θετικό , ορίζουμε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{(a+1)x+a}{x^2+a^2+1}$ . Βρείτε τα ακρότατα

της συνάρτησης και την εκείνη τιμή του , για την οποία μεγιστοποιείται το μέγιστο της .

Η συνάρτηση , $f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)x + a}}{{{x^2} + {a^2} + 1}}\,\,\,,\,\,a > 0$ ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς .

Έχει παράγωγο $f'\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {a + 1} \right){x^2} + 2ax - \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + {a^2} + 1} \right)}}$ . παρουσιάζει ελάχιστο στο ${x_1} = - \left( {a + 1} \right)$ το $f\left( {{x_1}} \right) = - \dfrac{1}{2}$ .

Ενώ στο ${x_2} = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{a + 1}}$ παρουσιάζει μέγιστο το $\boxed{f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}}\,\,\,,a > 0}$ .

Θεωρώ τη συνάρτηση : $g:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ με $g\left( a \right) = \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}}$ . Έχει παράγωγο , $g'\left( a \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}$

Εύκολα τώρα βρίσκω ότι η

, στο $\boxed{a = 1}$ παρουσιάζει μέγιστο το $\boxed{g\left( 1 \right) = 1}$

Μεγιστοποίηση μεγίστου

Μεγιστοποίηση μεγίστου

Re: Μεγιστοποίηση μεγίστου

Re: Μεγιστοποίηση μεγίστου

Μέλη σε σύνδεση