Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου.png (21.23 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Το σημείο T(-1 ,2)

βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με εξίσωση : x^2+y^2=16

.

Από εξωτερικό σημείο S(k,0)

του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA , SB

.

Για ποια τιμή του

μεγιστοποιείται το : (TAB)

;

#2

Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια. Τα αριθμητικά αποτελέσματα δεν με ενθουσιάζουν, αλλά δεν βλέπω κάτι άλλο.

: 12-03-2023 Ανάλυση.png (25.62 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Αφού τo

είναι σημείο του x’x

θα είναι $\displaystyle AB \bot x'x$ .

Έστω $\displaystyle A\left( {4\sigma \upsilon \nu \varphi ,4\eta \mu \varphi } \right),\;{\rm B}\left( {4\sigma \upsilon \nu \varphi ,\; - 4\eta \mu \varphi } \right),\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$

Οπότε $\displaystyle \left( {{\rm T}{\rm A}{\rm B}} \right) = \frac{{{\rm A}{\rm B} \cdot d\left( {T,\;AB} \right)}}{2} = 4\eta \mu \varphi \left( {4\sigma \upsilon \nu \varphi + 1} \right)$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = 4\eta \mu x\left( {4\sigma \upsilon \nu x + 1} \right),\;x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = 32\sigma \upsilon {\nu ^2}x + 4\sigma \upsilon \nu x - 16$ .

Με πίνακα προσήμων της παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = \frac{{\sqrt {129} - 1}}{{16}}$ .

Τότε $\displaystyle {\left( {{\rm T}{\rm A}{\rm B}} \right)_{\max }} = \frac{{\sqrt {126 + 2\sqrt {129} } \left( {\sqrt {129} + 3} \right)}}{{16}}$ και $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{4}{{OS}} \Leftrightarrow OS = \frac{{64}}{{\sqrt {129} - 1}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 12, 2023 8:41 pm
Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με εξίσωση : .

Από εξωτερικό σημείο του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα .

Για ποια τιμή του μεγιστοποιείται το : ;

Η πολική του $S\left( {k,0} \right)\,\,\,,\,\,\kappa > 4$ έχει εξίσωση : $kx + 0y = 16 \Rightarrow x = \dfrac{{16}}{k}$ $\left( 1 \right)$ .

Τα σημεία $A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ προκύπτουν από τη λύση του συστήματος , $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{16}}{k} \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Είναι : $\left\{ \begin{gathered} A\left( {\frac{{16}}{k},\frac{4}{k}\sqrt {{k^2} - 16} } \right) \hfill \\ B\left( {\frac{{16}}{k}, - \frac{4}{k}\sqrt {{k^2} - 16} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

και άρα : $AB = \dfrac{8}{k}\sqrt {{k^2} - 16}$ ενώ η απόσταση του $T\left( { - 1,2} \right)$ από την

είναι , $h = 1 + \dfrac{{16}}{k}$

Το εμβαδόν του $\vartriangle TAB$ είναι , $f\left( k \right) = \dfrac{4}{{{k^2}}}\left( {k + 16} \right)\sqrt {{k^2} - 16}$ και έχει μέγιστη τιμή , όταν.

$\boxed{{k_0} = \frac{{1 + \sqrt {129} }}{2}}$ το $f\left( {{k_0}} \right) = \sqrt {\dfrac{{129\sqrt {129} + 2367}}{{32}}} \simeq 10,94326041$

Παρατήρηση

Το τετράπλευρο APBS

είναι ρόμβος με ότι αυτό συνεπάγεται για άλλο τρόπο λύσης

: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου_extra.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

KARKAR · #4

: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου.png (22.4 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

Ονομάζω

την προβολή του

στην ευθεία

.

Προφανώς : $(TAB)=(PAB)=(x+1)\sqrt{16-x^2}$ , με μέγιστη τιμή

την παραπάνω ευρεθείσα για : $x=\dfrac{\sqrt{129}-1}{4}$ , οπότε : $k=2x+1=\dfrac{1+\sqrt{129}}{2}$ .

Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση