Τουλάχιστον τη βάση

KARKAR · #1

Για τους θετικούς αριθμούς x , y

, ισχύει : x+y=2k

. Βρείτε εκείνη την τιμή του

,

για την οποία η παράσταση : $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2$ , έχει ελάχιστη τιμή το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 05, 2023 8:33 am
Για τους θετικούς αριθμούς , ισχύει : . Βρείτε εκείνη την τιμή του ,

για την οποία η παράσταση : $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2$ , έχει ελάχιστη τιμή το .

Θέτω

και έχω προς μελέτη τη συνάρτηση

$\displaystyle f(t) = {\left( {k - t + \frac{1}{{k - t}}} \right)^2} + {\left( {k + t + \frac{1}{{k + t}}} \right)^2}$ με παράγωγο,

$\displaystyle f'(t) = \frac{2}{{{{(k - t)}^3}}} - \frac{2}{{{{(k + t)}^3}}} + 4t.$ Η

παρουσιάζει για $\boxed{t=0}$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{f(0) = 2{\left( {k + \frac{1}{k}} \right)^2}}$

Αν θέλουμε αυτό το ελάχιστο να είναι 10,

τότε $\displaystyle f(0) = 2{\left( {k + \frac{1}{k}} \right)^2} = 10,$ απ' όπου $\boxed{k=\Phi}$ ή $\boxed{k=\frac{1}{\Phi}}$

#3

Αποσύρω την ανάρτηση λόγω μαθηματικής διένεξης .

Λάμπρος Κατσάπας · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 05, 2023 8:33 am
Για τους θετικούς αριθμούς , ισχύει : . Βρείτε εκείνη την τιμή του ,

για την οποία η παράσταση : $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2$ , έχει ελάχιστη τιμή το .

Στη θέση ακροτάτου (αποκλείεται το μέγιστο αφού για $x\rightarrow \infty$ έχουμε $y\rightarrow \infty$

δηλαδή $\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^2+\left ( y+\dfrac{1}{y} \right )^2\rightarrow \infty$ )

η ευθεία y=-x+2k

θα εφάπτεται στον κύκλο (κέντρου (0,0)

)

$\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^2+\left ( y+\dfrac{1}{y} \right )^2=\rho ^2$ .

Η y=-x+2k

τέμνει τους άξονες στα σημεία (0,2k),(2k,0)

και επομένως εφάπτεται του κύκλο στο (k,k).

Άρα θέλουμε

$\left ( k+\dfrac{1}{k} \right )^2+\left ( k+\dfrac{1}{k} \right )^2=10\Leftrightarrow \left ( k+\dfrac{1}{k} \right )^2=5$ κ.λπ.

KARKAR · #5

Θα στηριχθούμε στην ανισοϊσότητα : $a^2+b^2 \geq \dfrac{1}{2}(a+b)^2$ . Είναι λοιπόν :

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2 \geq \dfrac{1}{2}\left(x+y +\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(2k +\dfrac{2k}{xy}\right)^2$ ,

ποσότητα που ελαχιστοποιείται , όταν μεγιστοποιείται ο παρονομαστής

,

κάτι το οποίο συμβαίνει , όταν : x=y=k

, άρα το ελάχιστο είναι : $2 \left ( k+\dfrac{1}{k} \right )^2$ .

Αυτό θέλουμε να ισούται με

, το οποίο μας δίνει τις τιμές : $k=\phi , k=\dfrac{1}{\phi}$ .

Τουλάχιστον τη βάση

Τουλάχιστον τη βάση

Re: Τουλάχιστον τη βάση

Re: Τουλάχιστον τη βάση

Re: Τουλάχιστον τη βάση

Re: Τουλάχιστον τη βάση

Μέλη σε σύνδεση