Ακρότατα σε τραπέζιο

#1

: Ακρότατα σε τραπέζιο.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

του σχήματος είναι AD=3, BC=4, AB=5.

Σημείο

κινείται στην πλευρά AB,

με $\displaystyle C\widehat MD = \theta.$ α) Να εκφράσετε με κατάλληλη συνάρτηση την $\displaystyle \tan \theta$ και

να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Πώς θα κατασκευάζατε γεωμετρικά (χωρίς

υπολογισμούς) τη θέση του

για την οποία η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ακρότατο;

S.E.Louridas · #2

Γειά σας.
Απλά θα μου επιτρέψετε να αναφερθώ στον γεωμετρικό προσδιορισμό του σημείου

Αν κατασκευάσουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία D, C,

και εφάπτεται στην ευθεία

έστω στο σημείο της

(Μία εκ των Απολλώνιων κατασκευών), τότε η γωνία $\angle DMC$ θα είναι η ζητούμενη Μέγιστη γωνία και τούτο διότι αυτός ο κύκλος (DMC)

θα είναι εκείνος με την
μικρότερη ακτίνα που περνά από τα σημεία D C

και τέμνει - εφάπτεται της ευθείας AB.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 24, 2022 9:57 pm
Ακρότατα σε τραπέζιο.png
Στο ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος είναι Σημείο

κινείται στην πλευρά με $\displaystyle C\widehat MD = \theta.$ α) Να εκφράσετε με κατάλληλη συνάρτηση την $\displaystyle \tan \theta$ και

να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Πώς θα κατασκευάζατε γεωμετρικά (χωρίς

υπολογισμούς) τη θέση του για την οποία η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ακρότατο;

Ας είναι $AM = x\, \Rightarrow MB = 5 - x\,\,,\,\,x \in \left[ {0,5} \right]\,$

Επειδή : $\tan \omega = \dfrac{3}{x}\,\,,\,\,\tan \phi = \dfrac{4}{{5 - x}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\theta = 180^\circ - \left( {\omega + \phi } \right)$ θα έχω:

$\tan \theta = - \tan \left( {\omega + \phi } \right) = - \dfrac{{\tan \omega + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega \cdot \tan \phi }}$ .

Δηλαδή : $\tan \theta = f(x) = \dfrac{{x + 15}}{{{x^2} - 5x + 12}}\,\,,\,\,x \in \left[ {0,5} \right]$ με $f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {x^2} - 30x + 87}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 12} \right)}^2}}}\,\,,\,\,x \in \left( {0,5} \right)$ .

: Ακρότατα σε τραπέζιο.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Η παράγωγος έχει μια αρνητική ρίζα και μια θετική πιο μικρή απο

, ${x_0} = 2\sqrt {78} - 15$ κι έτσι:

Στο διάστημα $\left[ {0,{x_0}} \right]$ η

είναι γνήσια αύξουσα, στο $\left[ {{x_0},5} \right]$ είναι γνήσια φθίνουσα .

Στο

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το $f\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4}$ , στο ${x_0}$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο

το $f\left( {{x_0}} \right) \simeq 3,0576975$ και στο

τοπικό ελάχιστο το $f\left( 5 \right) = \dfrac{5}{3}$ . Αυτό μας δείχνει ότι το $f\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4}$ είναι τελικά ολικό ελάχιστο .

Για το άλλο ερώτημα έχουμε το κλασσικό 1ο πρόβλημα του Απολλώνιου: $\Sigma .\,\Sigma .\,{\rm E}.$

Τα είπε όμορφα κι ωραία ο Σωτήρης .

Ακρότατα σε τραπέζιο

Ακρότατα σε τραπέζιο

Re: Ακρότατα σε τραπέζιο

Re: Ακρότατα σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση