Στρόβιλος

KARKAR · #1

: Στρόβιλος.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές

Η απόσταση του κέντρου του κύκλου (O,r)

από ευθεία $\varepsilon$ , είναι η : OM=d

. Τα σημεία

και

της ευθείας , είναι συμμετρικά ως προς

. Φέρουμε την "άνω" εφαπτομένη

και την "κάτω"

.

Α) Δείξτε ότι τα σημεία N , S , M

είναι συνευθειακά .

Β) Αν : d=2r

, εντοπίστε την θέση του

, για την οποία και τα N , O , B

είναι συνευθειακά .

#2

α)Τα ορθογώνια τρίγωνα $NAO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBO$ είναι προφανώς ίσα .

Έτσι , $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Leftrightarrow \widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}}$ άλλα προφανώς $\widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ άρα :

$\boxed{\widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 2\widehat {{\omega _{}}}}$ . Η υπό χορδής κι εφαπτομένης γωνία $\boxed{\widehat {ANS} = \frac{{\widehat {NOS}}}{2} = \widehat {{\omega _{}}}}$ .

: Στρόβιλος_a.png (29.03 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Επειδή το τετράπλευρο OSMB

είναι εγγράψιμο $\widehat {{w_{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ συνεπώς και λόγω του

ισοσκελούς $\vartriangle ONS$ , $\widehat {{\sigma _{}}} + \widehat {{w_{}}} = \widehat {{\sigma _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {ANO} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OSN} + \widehat {OSM} = 180^\circ$ οπότε οι

εφεξής γωνίες , $\widehat {OSN}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OSM}$ έχουν τις μη κοινές πλευρές τους $SM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SN$

αντικείμενες ημιευθείες .

β) ισχύουν ταυτόχρονα από Π. Θ . στα : $\vartriangle MOB\,\,,\,\,\vartriangle SOB\,\,,\,\,\vartriangle NAB$

$\left\{ \begin{gathered} O{B^2} = {x^2} + 4{r^2}\, \hfill \\ O{B^2} = {y^2} + {r^2} \hfill \\ {y^2} + {\left( {y + OB} \right)^2} = 4{x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Στρόβιλος_b.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Από τις πιο πάνω έχω : ${r^2}\left( {{x^2} + 4{r^2}} \right) = {\left( {{x^2} - 4{r^2}} \right)^2}$ απ’ όπου :

$\left\{ \begin{gathered} x = r\sqrt {\frac{{9 + \sqrt {33} }}{2}} \hfill \\ x = r\sqrt {\frac{{9 - \sqrt {33} }}{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Δεκτή μόνο η πρώτη

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 7:19 pm
Στρόβιλος.pngΗ απόσταση του κέντρου του κύκλου από ευθεία $\varepsilon$ , είναι η : . Τα σημεία και

της ευθείας , είναι συμμετρικά ως προς . Φέρουμε την "άνω" εφαπτομένη και την "κάτω" .

Α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Β) Αν : , εντοπίστε την θέση του , για την οποία και τα είναι συνευθειακά .

Α) Επειδή

εγγράψιμμο και

μεσοκάθετος της

οι γωνίες $\omega$ είναι ίσες

Αλλά $\angle y+ \omega =90^0 \Rightarrow N,S,M$ συνευθειακά

Β) Όταν OM=2r

και

συνευθειακά,θα είναι MN=MB

κι έστω

Ισχύουν ταυτόχρονα, MP.MQ=MS.MN=3r^2

και

και με πρόσθεση

$MN^2=MB^2=3r^2+r(r+x) \Rightarrow x^2-4r^2=3r^2+r(r+x) \Leftrightarrow x^2-rx-8r^2=0 \Rightarrow x= \dfrac{1+ \sqrt{33} }{2} r$

: Στρόβιλος.png (65.6 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Στρόβιλος

Στρόβιλος

Re: Στρόβιλος

Re: Στρόβιλος

Μέλη σε σύνδεση