Παράξενη πρόοδος

KARKAR · #1

: Παράξενη πρόοδος.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το σημείο

, ανακλάται στο

και διέρχεται από το

. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

.

Χαλαρωτική επισήμανση : Οι ζητούμενες συντεταγμένες είναι αριθμοί ρητοί .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2026 8:20 pm
Παράξενη πρόοδος.pngΦωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το σημείο , ανακλάται στο

και διέρχεται από το . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .

Χαλαρωτική επισήμανση : Οι ζητούμενες συντεταγμένες είναι αριθμοί ρητοί .

Για

είναι, $\displaystyle \frac{y}{3} = \frac{{4 - x}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{3x+4y=12}$ (1)

: Παράξενη πρόοδος.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

$\displaystyle \tan \left( {(\omega + \theta ) - \omega } \right) = \tan \left( {(\varphi + \theta ) - \varphi } \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{5 - y}}{x} - \dfrac{{3 - y}}{x}}}{{1 + \dfrac{{(5 - y)(3 - y)}}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{9 - x}}{y} - \dfrac{{4 - x}}{y}}}{{1 + \dfrac{{(9 - x)(4 - x)}}{{{y^2}}}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2} - 8y + 15}} = \frac{{5y}}{{{x^2} + {y^2} - 13x + 36}}$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1)

και

βρίσκω $\boxed{ S\left( {\frac{{216}}{{115}},\frac{{183}}{{115}}} \right)}$

Η λύση του συστήματος φυσικά παραλείπεται. Όποιος έχει το κουράγιο ας το επαληθεύσει

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2026 8:20 pm
Φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το σημείο , ανακλάται στο

και διέρχεται από το . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .

Χαλαρωτική επισήμανση : Οι ζητούμενες συντεταγμένες είναι αριθμοί ρητοί .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Παράξενη πρόοδος 2.png (49.23 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Παραθέτω χωρίς επιμέρους πράξεις τη μέθοδο:

Βρίσκουμε κατά τα γνωστά το συμμετρικό του σημείου $\displaystyle{T(9,0)}$ ως προς την ευθεία:

$\displaystyle{AB: \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1 \ \ (1) }$

Αυτό είναι:

$\displaystyle{T' =(\frac{27}{5},-\frac{24}{5}) \ \ (2) }$

Στη συνέχεια βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{PT'}$ :

$\displaystyle{49x+27y=135 \ \ (3) }$

Η τομή της ευθείας αυτής με την ευθεία (1) δίνει το σημείο

$\displaystyle{M=(\frac{216}{115}, \frac{183}{115}) \ \ (4) }$

Παρατήρηση:

Θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την αρχή του Fermat ζητώντας, αφού πρόκειται για ανάκλαση φωτός,

το ελάχιστο της παράστσης:

$\displaystyle{f(x,y)= AM+MT \ \ (5) }$

Η παράσταση αυτή μελετιέται η ως συνάρτηση δυο μεταβλητών με ένα δεσμό ή ως μια συνάρτηση μιας μεταβλητής,

αλλά έχουμε πολλές πράξεις...

Κώστας Δόρτσιος

Nikitas K. · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2026 8:20 pm
Παράξενη πρόοδος.png Φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το σημείο , ανακλάται στο

και διέρχεται από το . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .

Χαλαρωτική επισήμανση : Οι ζητούμενες συντεταγμένες είναι αριθμοί ρητοί .

: Παράξενη πρόοδος.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Με βάση τις ίσες —πράσινες— γωνίες του επισυναπτόμενου σχήματος προκύπτει ότι:

$\dfrac{ \overset {\rightarrow} {SA} \cdot \overset {\rightarrow} {ST} }{ \left| \overset {\rightarrow} {SA} \right| \left| \overset {\rightarrow} {ST} \right| } = \dfrac{ \overset {\rightarrow} {SB} \cdot \overset {\rightarrow} {SP} }{ \left| \overset {\rightarrow} {SB} \right| \left| \overset {\rightarrow} {SP} \right| }$

Μετά από πράξεις (αναλυτικά εδώ) προκύπτει ότι το $S\left(\dfrac{216}{115},\dfrac{183}{115}\right)$ είναι το ζητούμενο σημείο.

KARKAR · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2026 11:33 am
Για είναι : $\boxed{3x+4y=12}$

$\displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2} - 8y + 15}} = \frac{{5y}}{{{x^2} + {y^2} - 13x + 36}}$

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων και βρίσκω $\boxed{ S\left( {\frac{{216}}{{115}},\frac{{183}}{{115}}} \right)}$

Η λύση του συστήματος φυσικά παραλείπεται. Όποιος έχει το κουράγιο ας το επαληθεύσει

Κι όμως δεν είναι πολύπλοκο : Θέτοντας : x=4k , y=3-3k

, η δεύτερη γίνεται : $\dfrac{8}{25k+6}=\dfrac{3-3k}{5k^2-14k+9}$

ή : 115k^2-169k+54=0

, με λύσεις : k=1 , x=4

( απορρίπτεται ) , ή : $k=\dfrac{54}{115}$ , οπότε : $\boxed{ S\left( {\frac{{216}}{{115}},\frac{{183}}{{115}}} \right)}$

Παράξενη πρόοδος

Παράξενη πρόοδος

Re: Παράξενη πρόοδος

Re: Παράξενη πρόοδος

Re: Παράξενη πρόοδος

Re: Παράξενη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση