Παράξενη ορθογωνιότητα

KARKAR · #1

: Παράξενη ορθογωνιότητα.png (25.93 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Το μέσο

της χορδής

, του κύκλου x^2+y^2=16

, είναι σημείο

του κύκλου (x-1)^2+y^2=7

. Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ASB}$ είναι ορθή .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 15, 2025 8:55 am
Παράξενη ορθογωνιότητα.pngΤο μέσο της χορδής , του κύκλου , είναι σημείο

του κύκλου . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ASB}$ είναι ορθή .

Αν $A(a,c), \, B(b,d)$ έχουμε εξ υποθέσεως $a^2+c^2=b^2+d^2=16, \,(*)$ . Αφού το

ως μέσον είναι το $M \left ( \dfrac {a+b}{2}, \dfrac {c+d}{2}\right )$ έχουμε εξ υποθέσεως

$\left ( \dfrac {a+b}{2}-1\right )^2 + \left (\dfrac {c+d}{2}\right )^2=7$ ισοδύναμα

a^2+ b^2 +c^2+d^2+2ab+2cd-4a-4b=28

που με χρήση των (*)

γίνεται

, ισοδύναμα (a-2)(b-2)+cd=0

που γράφεται

$\boxed {\dfrac {c}{a-2}\cdot \dfrac {d}{b-2}=-1}$ . Αλλά αυτό σημαίνει ακριβώς, λόγω κλίσεων, $AS\perp BS$ ,

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 15, 2025 8:55 am
Παράξενη ορθογωνιότητα.pngΤο μέσο της χορδής , του κύκλου , είναι σημείο

του κύκλου . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ASB}$ είναι ορθή .

Έστω

το κέντρο του μεγάλου κύκλου και

το κέντρο του μικρού. Άρα OA=OB=4, MK^2=7.

: Παράξενη ορθογωνιότητα.png (21.2 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

$O{M^2} + A{M^2} = 16$

Θεώρημα διαμέσων στο MOK,

$\displaystyle O{M^2} + S{M^2} = 14 + 2 = 16 \Rightarrow SM = AM = \frac{{AB}}{2}$ και το ζητούμενο έπεται.

Παράξενη ορθογωνιότητα

Παράξενη ορθογωνιότητα

Re: Παράξενη ορθογωνιότητα

Re: Παράξενη ορθογωνιότητα

Μέλη σε σύνδεση