Παράξενη ισότητα γωνιών

KARKAR · #1

: Παράξενη ισότητα γωνιών.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο η γωνία την οποία σχηματίζουν

η διάμεσος

και η διχοτόμος

, να ισούται με την γωνία : $\widehat{BMD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 5:16 pm
Παράξενη ισότητα γωνιών.pngΚατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η γωνία την οποία σχηματίζουν

η διάμεσος και η διχοτόμος , να ισούται με την γωνία : $\widehat{BMD}$ .

Κατασκευή

Με πολλούς τρόπους , κατασκευάζεται ορθογώνιο τρίγωνο $ADB\,\,\left( {A = 90^\circ } \right)$ με $\boxed{\frac{{DB}}{{DA}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ π.χ. με κύκλο Απολλώνιου.

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την υποτείνουσα

. Η

τέμνει την

στο

. Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω.

Απόδειξη

: παράξενη ισότητα γωνιών_Κατασκευή.png (30.29 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Γράφω το περιγεγραμμένο ημικύκλιο στο $\vartriangle ABC$ . Ας είναι

ο νότιος πόλος . Φέρνω την κάθετη στο

επί την

και τέμνει την ευθεία

στο

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω :

Θ. Ευκλείδη , $B{D^2} = DA \cdot DQ \Rightarrow {k^2}{\varphi ^2} = k\left( {k + x} \right) \Rightarrow k{\varphi ^2} = {k^2} + kx$ , συνεπώς :

$\boxed{x = k\left( {{\varphi ^2} - 1} \right) = k\varphi }\,\,\,\left( 1 \right)$ και με όμοιο τρόπο : $y = m\varphi \,\,\left( 2 \right)$

Αλλά $k + m = y = m\varphi \Rightarrow k = m\left( {\varphi - 1} \right) \Rightarrow k\varphi = m\left( {{\varphi ^2} - \varphi } \right)$ , οπότε : $k\varphi = m \Rightarrow DB = DM$

Μια διαφορετική κατασκευή αλλά χωρίς απόδειξη .

: παράξενη ισότητα γωνιών_Κατασκευή_new.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές

Διαιρώ εσωτερικά, με το σημείο

, τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα

σε μέσο κι άκρο λόγο.

Ο κύκλος $\left( {D,DM} \right)$ τέμνει στο

την εις το

κάθετη επί την

.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

, το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω .

Αρκεί τώρα π.χ. να δείξω ότι η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 5:16 pm
Παράξενη ισότητα γωνιών.pngΚατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η γωνία την οποία σχηματίζουν

η διάμεσος και η διχοτόμος , να ισούται με την γωνία : $\widehat{BMD}$ .

Το τρίγωνο έχει πλευρές $\boxed{(c,b,a) = \left( {c,2c\sqrt {2 + \sqrt 5 } ,c(2 + \sqrt 5 )} \right)}$

: Παράξενη ισότητα γωνιών.png (10.58 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Πράγματι, είναι $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {b^2} = {a^2} - {c^2} \hfill \\ B{D^2} = ac\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{{(a + c)}^2}}}} \right) \hfill \\ DM = \frac{b}{2} - \frac{{bc}}{{a + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , κι επειδή BD^2=DM^2

καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle {a^3} - 3{a^2}c - 5a{c^2} - {c^3} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = cx} {x^3} - 3{x^2} - 5x - 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} - 4x - 1) = 0,$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή λύση $\displaystyle x = \frac{a}{c} = 2 + \sqrt 5,...$ κλπ.

KARKAR · #4

: Παράξενη ισότητα γωνιών.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Από θεώρημα διχοτόμου είναι : $y=\dfrac{bc}{a+c}$ . Από : BD=DM

, παίρνουμε :

$c^2+y^2=(\dfrac{b}{2}-y)^2$ , άρα : $y=\dfrac{b^2-4c^2}{4b}$ . Εξισώνουμε και δεδομένου ότι : b^2=a^2-c^2

καταλήγουμε στην : c^3+5ac^2+3a^2c-a^3

, η οποία έχει μοναδική δεκτή ρίζα την : $\dfrac{c}{a}=\sqrt{5}-2$ .

: kataskevi.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

.

Στο δεύτερο σχήμα βλέπετε μια πιθανή κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου . Η κατασκευή του Νίκου

μου άρεσε περισσότερο , αλλά δεν είναι εμφανής η προηγηθείσα ανάλυση ...

Παράξενη ισότητα γωνιών

Παράξενη ισότητα γωνιών

Re: Παράξενη ισότητα γωνιών

Re: Παράξενη ισότητα γωνιών

Re: Παράξενη ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση