Εξάρες

KARKAR · #1

: Εξάρες.png (6.98 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

.

Επιλέξτε σημείο

της

, ώστε : $\tan\theta+\tan\phi=6$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 12:20 pm
Εξάρες.pngΣτο τρίγωνο , είναι : .

Επιλέξτε σημείο της , ώστε : $\tan\theta+\tan\phi=6$ .

: Εξάρες.Κ.png (8.17 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 12:20 pm
Εξάρες.pngΣτο τρίγωνο , είναι : .

Επιλέξτε σημείο της , ώστε : $\tan\theta+\tan\phi=6$ .

Έστω

το μέσο του BC.

Προφανώς,

Θέτω

και $S\widehat AM=\omega.$

: Εξάρες.Κ2.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

$\displaystyle \tan (\theta + \omega ) = \frac{4}{3} = \tan (\varphi - \omega ) \Leftrightarrow \frac{{3\tan \theta + x}}{{3 - x\tan \theta }} = \frac{4}{3} = \frac{{3\tan \varphi - x}}{{3 + \tan \varphi }},$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{{3(4 - x)}}{{9 + 4x}} \hfill \\ \tan \theta + \tan \varphi = 6 \hfill \\ \tan \varphi = \frac{{3(4 + x)}}{{9 - 4x}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{3(4 - x)}}{{9 + 4x}} + \frac{{3(4 + x)}}{{9 - 4x}} = 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{BS=\frac{5}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 12:20 pm
Εξάρες.pngΣτο τρίγωνο , είναι : .

Επιλέξτε σημείο της , ώστε : $\tan\theta+\tan\phi=6$ .

Είναι

και $tanB=\dfrac{3}{4}$ άρα $tan2B=\dfrac{24}{7}$

Έτσι, $tan(\phi +\theta)= -\dfrac{24}{7}= \dfrac{6}{1-tan \phi tan \theta }$ απ όπου $tan \theta tan \phi = \dfrac{11}{4}$

Άρα οι $tan \phi , tan \theta$ είναι ρίζες της εξίσωσης $x^2-6x+ \dfrac{11}{4}=0$ οπότε $tan \phi = \dfrac{11}{2} ,tan \theta = \dfrac{1}{2}$

Τώρα, με SE=x

έχουμε $2x+ \dfrac{4}{3}x=5 \Rightarrow x= \dfrac{3}{2}$ και με Π.Θ $BS= \dfrac{5}{2}$

: εξάρες.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

KARKAR · #5

Έξοχες λύσεις ! Μιχάλη

: Εξάρες.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Για το κλείσιμο θα μπορούσε κανείς να παρατηρήσει ότι αφού : $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ , είναι και : $\tan\phi=\dfrac{1}{2}$ ,

συνεπώς η

ως διχοτόμος , χωρίζει την

σε τμήματα : BS=2,5

και

.

Παρατήρηση : Ο λόγος $\theta$ προς $\phi$ είναι $\dfrac{1}{3}$ , ενώ ο λόγος $\tan\theta$ προς $\tan\phi$ είναι : $\dfrac{1}{11}$

Εξάρες

Εξάρες

Re: Εξάρες

Re: Εξάρες

Re: Εξάρες

Re: Εξάρες

Μέλη σε σύνδεση