Τριπλάσια γωνία

#1

Αν σε τρίγωνο ABC,

είναι $\displaystyle \widehat B = 3\widehat C,$ να δείξετε ότι $\displaystyle \cos C = \sqrt {\frac{{b + c}}{{4c}}}.$

Ας την αφήσουμε 48 ώρες για μαθητές.

Manolis Petrakis · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 06, 2022 2:20 pm
Αν σε τρίγωνο είναι $\displaystyle \widehat B = 3\widehat C,$ να δείξετε ότι $\displaystyle \cos C = \sqrt {\frac{{b + c}}{{4c}}}.$

Ας την αφήσουμε 48 ώρες για μαθητές.

: Στιγμιότυπο οθόνης (246).png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Φέρνουμε $\angle MBC=\angle C$ με $M\in AC$ επομένως τα τρίγωνα MAB,MBC

είναι ισοσκελή με AM=AB=c

και

.
Τώρα με νόμο συνημιτόνων στο AMB

έχουμε:
$c^2=c^2+(b-c)^2-2c(b-c)\cos2C \Leftrightarrow \cos2C=\dfrac{b-c}{2c} \Leftrightarrow 2\cos^2C -1=\dfrac{b-c}{2c}\Leftrightarrow \cos C=\sqrt{\dfrac{b+c}{4c}}$

#3

Πολύ ωραία η απόδειξη. Κάνω μία ακόμη αλλά με χρήση λίγο πιο δύσκολου Τριγωνομετρικού τύπου. Συγκεκριμένα

$\sin 3x= 3\sin x - 4 \sin ^3 x = \sin x( 3-4 \sin ^2 x)= \sin x(4\cos ^2 x-1)$ .

Από τον Νόμο των Hμιτόνων έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {c}{\sin C} = \dfrac {b}{\sin 3C} = \dfrac {b}{\sin C(4\cos ^2 C-1)} }$ .

Άρα $(4\cos ^2 C-1)c=b$ , από όπου το ζητούμενο.

Τριπλάσια γωνία

Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση