Μέγιστη γωνία

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Η

είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου (O)

,

είναι σημείο του βόρειου ημικυκλίου

και P , T

είναι τα συμμετρικά του

ως προς την

και το κέντρο

αντίστοιχα . Το

είναι το μέσο του

. Βρείτε το ημίτονο της γωνίας $\widehat{MST}$ , όταν αυτή μεγιστοποιηθεί .

Διορθώθηκε το συνημίτονο και έγινε ημίτονο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 9:20 am
Μέγιστη γωνία.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , είναι σημείο του βόρειου ημικυκλίου

και είναι τα συμμετρικά του ως προς την και το κέντρο αντίστοιχα . Το

είναι το μέσο του . Βρείτε το συνημίτονο της γωνίας $\widehat{MST}$ , όταν αυτή μεγιστοποιηθεί .

Η

επανατέμνει τον κύκλο στο

και έστω

Είναι, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{SL}}{{2R}}$ κι επειδή η

συνάρτηση συνημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right),$ αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του SL.

: Μέγιστη γωνία.ΚA.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

$S{M^2} = S{P^2} + {x^2} = 4{R^2} - 4{x^2} + {x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SM = \sqrt {4{R^2} - 3{x^2}}}$ (1)

$\displaystyle SM(SL - SM) = {x^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} SL = f(x) = \frac{{2(2{R^2} - {x^2})}}{{\sqrt {4{R^2} - 3{x^2}} }}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{2x(3{x^2} - 2{R^2})}}{{\sqrt {{{(4{R^2} - 3{x^2})}^3}} }}$

απ' όπου παίρνω $\displaystyle S{L_{\min }} = \frac{{4R\sqrt 2 }}{3}$ όταν $\displaystyle x = R\sqrt {\frac{2}{3}}$ και $\boxed{\cos \theta = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 9:20 am
Μέγιστη γωνία.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , είναι σημείο του βόρειου ημικυκλίου

και είναι τα συμμετρικά του ως προς την και το κέντρο αντίστοιχα . Το

είναι το μέσο του . Βρείτε το συνημίτονο της γωνίας $\widehat{MST}$ , όταν αυτή μεγιστοποιηθεί .

Με αρχή αξόνων το

ο κύκλος είναι (χωρίς βλάβη) ο x^2+y^2=1

. Άρα για κάποια $a,\,b$ με a^2+b^2=1

οι συντεταγμένες των σημείων είναι $S(-a,b),\, T(a,-b),\, M(0,-b)$ . Άρα από τον νόμο των συνημιτόνων στο SMB

είναι

$\displaystyle{\cos \theta =\dfrac {4+(4b^2+a^2)-b^2}{4\sqrt {4b^2+a^2}}= \dfrac {5 +2b^2}{4\sqrt {3b^2+1}}}$ .

To μέγιστο του συνημιτόνου, ισοδύναμα το ελάχιστο του δεξιού μέλους, είναι άμεσο είτε με παραγώγιση είτε γράφοντάς στο στην μορφή (άμεσο) $\dfrac {A+Bc^2}{c}$ που με την σειρά του είναι $\ge 2\sqrt {AB}$ . Αφήνω τις πράξεις ως απλές.

#4

: Μέγιστη γωνία_Ανάλυση.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Το σημείο τομής

των $OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM$ είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle SPT$ .

Αν

η προβολή του

στην ευθεία

θα είναι $\boxed{PE \leqslant PG = \frac{2}{3}R}$ .

Αν η

τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

θα είναι $\boxed{DT = PE}$ .

Η γωνία $\theta$ γίνεται μέγιστη όταν , $\widehat {DOT} = 2\theta$ γίνει μέγιστη.

Δηλαδή όταν

έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος και άρα $\boxed{DT = PE = \frac{2}{3}R}$

: Μέγιστη γωνία.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Τότε: $OG = \dfrac{1}{3}R \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin \theta = \frac{1}{3} \hfill \\ \cos \theta = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση