Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του BM , CN

,

τέμνονται στο

. Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C}$

τέμνουν τις διαμέσους CN , BM

στα σημεία S , T

, υπολογίστε το $\sin\widehat{SAT}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 1:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του ,

τέμνονται στο . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C}$

τέμνουν τις διαμέσους στα σημεία , υπολογίστε το $\sin\widehat{SAT}$ .

: εφ100-ημ23.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

$\displaystyle \tan \omega = - \frac{3}{4},\sin \theta = \frac{1}{3}$

edit: Άρση απόκρυψης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 1:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του ,

τέμνονται στο . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C}$

τέμνουν τις διαμέσους στα σημεία , υπολογίστε το $\sin\widehat{SAT}$ .

α)

: Ώρα εφαπτομένης 100 και συνημιτόνου 23_a.png (11.47 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Η τρίτη διάμεσος

είναι ύψος και διχοτόμος άρα με GZ = k

, $\boxed{\tan {a_1} = \dfrac{{GZ}}{{ZB}} = \dfrac{k}{{3k}} = \dfrac{1}{3}}$ .

Επειδή $2\tan {a_1} + \tan \omega = {\tan ^2}{a_1}\tan \omega \Rightarrow \dfrac{2}{3} + \tan \omega = \dfrac{1}{9}\tan \omega \Rightarrow \boxed{\tan \omega = - \dfrac{3}{4}}$ .
β)

Έστω ότι οι ευθείες $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$ τέμνουν την υποτείνουσα

στα σημεία : $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ . Ας είναι δε $\boxed{AB = AC = a} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BC = a\sqrt 2 \hfill \\ AZ = ZC = ZB = a\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AZK$ με διατέμνουσα την $\overline {CGS}$ και λαμβάνω υπ’ όψη ότι, $\dfrac{{KS}}{{SA}} = \dfrac{{KB}}{{BA}}$ λόγω θ. διχοτόμου στο $\vartriangle BKA$ .Αν θέσω $\boxed{KZ = d}$ , έχω: : $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{AG}}{{GZ}} \cdot \dfrac{{ZC}}{{CK}} \cdot \dfrac{{KS}}{{SA}} = 1 \hfill \\ \dfrac{{KS}}{{SA}} = \dfrac{{KB}}{{BA}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + d}} \cdot \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} - d}}{a} = 1\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \dfrac{{KS}}{{SA}} = \dfrac{{KB}}{{BA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} - d}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Ώρα εφαπτομένης 100 και συνημιτόνου 23_b.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $\boxed{d = \dfrac{a}{2}\left( {3\sqrt 2 - 4} \right)}\,\,\left( 2 \right)$ . Εκφράζω τώρα το $\left( {AKL} \right)$ με δύο τρόπους :

$\left\{ \begin{gathered} \left( {AKL} \right) = \dfrac{1}{2}A{K^2}\sin \theta \hfill \\ \left( {AKL} \right) = \dfrac{1}{2}KL \cdot AZ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A{K^2}\sin \theta = KL \cdot AZ$ .

Λόγω του Π. Θ. στο $\vartriangle ZAK$ η πιο πάνω γίνεται : $\left( {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {d^2}} \right)\sin \theta = \dfrac{{2ad\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \boxed{\sin \theta = \dfrac{1}{3}}$ .

Το αποτέλεσμα με υποψιάζει ότι υπάρχει πιο κομψή λύση αλλά θα το δω αύριο .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 1:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του ,

τέμνονται στο . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C}$

τέμνουν τις διαμέσους στα σημεία , υπολογίστε το $\sin\widehat{SAT}$ .

$tan \varphi = \dfrac{BM}{MG}= \dfrac{AM}{MG}=3 \Rightarrow tan2 \phi = \dfrac{2tan \phi }{1-tan^2 \phi } =- \dfrac{3}{4} =tan \omega$

Από CEVA έχουμε, $\dfrac{BD}{DC} . \dfrac{CE}{EA} . \dfrac{AN}{NB}=1 \Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{EA}{EC}= \dfrac{1}{ \sqrt{2} }$ (1)

Έστω $x= tan \dfrac{ \theta }{2}= \dfrac{DM}{AM}$

$(1) \Rightarrow \dfrac{AM-DM}{AM+DM}= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \dfrac{1-x}{1+x}= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow x=3-2 \sqrt{2}$

Από $sin \theta = \dfrac{2tan \dfrac{ \theta }{2} }{1+tan^2 \dfrac{ \theta }{2} }= \dfrac{2x}{1+x^2} \Rightarrow sin \theta = \dfrac{1}{3}$

: Ώρα εφαπτομένης 100.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 1:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του ,

τέμνονται στο . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C}$

τέμνουν τις διαμέσους στα σημεία , υπολογίστε το $\sin\widehat{SAT}$ .

Αλλιώς για το δεύτερο ερώτημα.

Απομονώνω το τρίγωνο ABM

με τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα. Είναι $\displaystyle \tan 22,5^\circ = \sqrt 2 - 1,$ άρα η

έχει εξίσωση $\boxed{y = - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - 2\sqrt 2 + 2}$ ενώ η

έχει εξίσωση $\boxed{y = - 2x + 2}$ Λύνω το σύστημα

: εφ100-ημ23.β.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

και βρίσκω $\displaystyle S\left( {\frac{{8 - 2\sqrt 2}}{7},\frac{{4\sqrt 2 - 2}}{7}} \right).$ Εξάλλου, $\displaystyle \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {AS} }}{{AG \cdot AS}}$ με $\displaystyle \varphi = \frac{\theta }{2}.$ Παραλείποντας πράξεις,

καταλήγω στο $\displaystyle \cos \frac{\theta }{2} = \frac{{2\sqrt 3+\sqrt 6 }}{6},$ απ' όπου $\displaystyle \sin \frac{\theta }{2} = \frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{6}$ και τελικά $\boxed{\sin \theta = \frac{1}{3}}$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ! Μόνο για το πρώτο ζητούμενο...

Άντε και στην εφαπτομένη υπ' αριθμ. του KARKAR , όποιος .. ..αντέξει φυσικά!

: tan 100 KARKAR.png (82.55 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Ας είναι

τότε

και $BM=\sqrt{5}$ . Φέρω $NH \perp BM$ .

Το NHMA

είναι εγγράψιμο οπότε $BH\cdot BM=BA\cdot BN\Rightarrow \sqrt{5}BH=2\Rightarrow BH=\dfrac{2BM}{5}$

Έχουμε $HG=\dfrac{2BM}{3}-\dfrac{2BM}{5}=\dfrac{4BM}{15}$ , ενώ $HN=\dfrac{BH}{2}=\dfrac{3BM}{15}$ συνεπώς $tan\omega =- tan \widehat{HGN}=-\dfrac{3}{4}$

Φιλικά, Γιώργος.

Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Re: Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Re: Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Re: Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Re: Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Re: Ώρα εφαπτομένης 100 και ( ημιτόνου 23 )

Μέλη σε σύνδεση