Ελάχιστο τραπέζιο

#1

Οι βάσεις

τραπεζίου

είναι παράλληλες στον x'x,

οι κορυφές A, D

είναι σταθερές, ενώ

οι διαγώνιοι τέμνονται στον y'y.

I) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου ελαχιστοποιείται όταν $BC\bot AB.$

II) Αν η τετμημένη του

είναι

και του

είναι $-\dfrac{9}{2},$ να βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου όταν

$\displaystyle {(ABCD)_{\min }} = A{D^2}$

#2

Έστω

οι αποστάσεις των σημείων A, B, C, D

από τον κατακόρυφο άξονα.

Τα a,d

και το ύψος

του τραπεζίου είναι σταθερά. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι

E=( a+b+c+d)h/2

Από το θεώρημα κεντρικής δέσμης είναι

bc=ad

σταθερό.

Επομένως το άθροισμα b+c

γίνεται ελάχιστο όταν $b=c=\sqrt{ad}$ . Τότε έχουμε το ελάχιστο εμβαδόν $E=(a+d+2\sqrt{ad})h/2$

Στη συνέχεια είναι

a=2, d=9/2, AD^2=h^2+(d-a)^2

.

Η ισότητα E=AD^2

δίνει εξίσωση με άγνωστο το ύψος h κλπ., βρίσκουμε το ζητούμενο εμβαδόν.