Κι αυτές κάθετες

KARKAR · #1

: Κι αυτές κάθετες.png (29.48 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (O)

και τον τέμνει στα σημεία

και

.

Από σημείο

του

φέρω το εφαπτόμενο προς τον (O)

τμήμα

και την

, η οποία

τέμνει την

στο σημείο

. Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .

: kai aftes kathetes.png (29.57 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Για να δείξουμε ότι το

είναι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου OPS

αρκεί να δείξουμε ότι $SP^2= ST\cdot SO$ .

Έχουμε πρώτα απ' όλα από την δύναμη του σημείου

στον μεγάλο κύκλο $ST\cdot OT= AT\cdot TB$ ίσον η δύναμη του σημείου

στον μικρό κύκλο =R^ 2 -OT^2

, όπου

η ακτίνα του μικρoύ κύκλου. Άρα $ST\cdot OT= R^ 2 -OT^2$ (*). Έχουμε τότε από Πυθαγόρειο

$SP^2 = SO^2-OP^2= (ST+OT)^2-R^2= ST^2+ST\cdot OT+ (ST\cdot OT+ OT^2-R^2)= ^{apo \, (*)}$

$=ST^2+ST\cdot OT=ST(ST+OT)= ST \cdot SO$ , όπως θέλαμε

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .
[/quot

Το τετράπλευρο $A\Theta OT$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο γιατί

$\hat{O\Theta A}=\hat{OA\Theta }=\hat{SIO} =\hat{OTJ}$ ,

εφόσον τα τετράπλευρα είναι εγράψιμα

$SA.S\Theta =ST.SO,SP^{2}=SA.S\Theta \Rightarrow SP^{2}=ST.SO\Rightarrow \hat{PTS}=90^{0}$

Dimessi · #4

Αν οι κύκλοι (OPS)

και

τέμνονται ξανά στο

τότε οι ευθείες OS,AB,PX

συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των

κύκλων (OPS),(O,OA),(K,KA)

οπότε

συνευθειακά.

Επειδή η

εφάπτεται του κύκλου (O,OA)

στο

είναι $PS\perp OP$ οπότε ο κύκλος (OPSX)

έχει διάμετρο

άρα και η

εφάπτεται του κύκλου (O,OA)

οπότε $PX\perp OS$

δηλαδή $\overline {PTX}\perp OS$

: Καθετότητα από ριζικούς άξονες.png (407.72 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .

Η πολική του

ως προς τον κύκλο

είναι η ευθεία ${g_1}$ ( χορδή επαφών) κάθετη στην

σε σημείο

.

Άρα η πολική του

ως προς τον ίδιο κύκλο θα διέρχεται από το

και θα είναι κάθετη στην ${g_1}$ , δηλαδή η

.

: Κι αυτές κάθετες_με πολικές.png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Τώρα ( πάλι Θ. $La\,Hire$ ) η πολική του

ως προς τον κύκλο

θα είναι ευθεία ${g_2}$ κάθετη στην

και διερχομένη

Δια του

. Δηλαδή οι ευθείες : $PQ\,\,,\,\,SO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ συντρέχουν σε σημείο

και είναι , $ST \bot PQ$ .

Κι αυτές κάθετες

Κι αυτές κάθετες

Re: Κι αυτές κάθετες

Re: Κι αυτές κάθετες

Re: Κι αυτές κάθετες

Re: Κι αυτές κάθετες

Μέλη σε σύνδεση