Κύκλος και κέντρο

KARKAR · #1

: Κύκλος και κέντρο.png (32.3 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Από το σταθερό σημείο

, που βρίσκεται μεταξύ των σημείων O , B

της διαμέτρου AOB

, ενός

κύκλου , διέρχεται μεταβλητή χορδή

. Σε σημείο

της προέκτασης της

φέρουμε κάθετη ,

την οποία οι AP , AT

τέμνουν στα Q , S

αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι τα P,T,S,Q

είναι ομοκυκλικά .

Αν : OL=4 , LB=1 , BN=8

, υπολογίστε την τετμημένη του κέντρου

του νέου κύκλου .

( Θεωρήστε ως αρχή των αξόνων το

, και άξονα x'x

την ευθεία

) .

Σημείωση : το πρώτο ερώτημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για αυτή .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2025 7:08 am
Κύκλος και κέντρο.pngΑπό το σταθερό σημείο , που βρίσκεται μεταξύ των σημείων της διαμέτρου , ενός

κύκλου , διέρχεται μεταβλητή χορδή . Σε σημείο της προέκτασης της φέρουμε κάθετη ,

την οποία οι τέμνουν στα αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι τα είναι ομοκυκλικά .

Αν : , υπολογίστε την τετμημένη του κέντρου του νέου κύκλου .

( Θεωρήστε ως αρχή των αξόνων το , και άξονα την ευθεία ) .

Σημείωση : το πρώτο ερώτημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για αυτή .

Για το πρώτο ερώτημα.

Τα BPNQ, TBNS

είναι προφανώς εγγράψιμα, άρα $\displaystyle AP \cdot AQ = AB \cdot AN = AT \cdot AS$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Θα επανέλθω για το άλλο ερώτημα (και με σχήμα).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2025 7:08 am
Κύκλος και κέντρο.pngΑπό το σταθερό σημείο , που βρίσκεται μεταξύ των σημείων της διαμέτρου , ενός

κύκλου , διέρχεται μεταβλητή χορδή . Σε σημείο της προέκτασης της φέρουμε κάθετη ,

την οποία οι τέμνουν στα αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι τα είναι ομοκυκλικά .

Αν : , υπολογίστε την τετμημένη του κέντρου του νέου κύκλου .

( Θεωρήστε ως αρχή των αξόνων το , και άξονα την ευθεία ) .

Σημείωση : το πρώτο ερώτημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για αυτή .

α) Φέρνω την εφαπτομένη, ευθεία $g\,\,,$ του $\left( O \right)$ στο

. $g//QN \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ . Επίσης $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης ).

Κατά συνέπεια $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}}$ και το ζητούμενο φανερό . Ας είναι δε

το σημείο τομής του $\left( K \right)$ με την ακτίνα OB.

β) Τα σημεία P,B,N,Q

ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου

και θα ισχύει : $AP \cdot AQ = AB \cdot AN = 10 \cdot 18 = 180 = AD.AE = A{J^2}$ .

Με

το εφαπτόμενο τμήμα από το

στον κύκλο $\left( K \right)$ . Συνεπώς $AJ = \sqrt {180} = 6\sqrt 5$ . Αν

η προβολή του

στην

θα είναι :

$DE = 6\sqrt 5 = 2DH = 2\left( {3\sqrt 5 } \right)$ .

Θεωρώ την αντιστροφή , με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής $A{J^2} = {k^2} = 180$ του κύκλου $\left( K \right)$ που μένει αναλλοίωτος σ αυτή.

: Κύκλος και κέντρο_b_ok.png (53.2 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Θέτω : $DL = m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH = x$ , Είναι : $AD = 9 - m\,\,,\,\,AD \cdot AE = A{J^2} = 180 \Rightarrow \left( {9 - m} \right)\left( {9 - m + 6\sqrt 5 } \right) = 180$ .

Με δεκτή ρίζα , $m = 3\sqrt 5 - 6 \Rightarrow m + 1 = 3\sqrt 5 - 5$ .

Επειδή $m + 1 + x = 3\sqrt 5 \Rightarrow 3\sqrt 5 - 5 + x = 3\sqrt 5 \Rightarrow x = 5$ και άρα η τετμημένη του

είναι : $\boxed{x + 5 = 10}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2025 7:08 am
Κύκλος και κέντρο.pngΑπό το σταθερό σημείο , που βρίσκεται μεταξύ των σημείων της διαμέτρου , ενός

κύκλου , διέρχεται μεταβλητή χορδή . Σε σημείο της προέκτασης της φέρουμε κάθετη ,

την οποία οι τέμνουν στα αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι τα είναι ομοκυκλικά .

Αν : , υπολογίστε την τετμημένη του κέντρου του νέου κύκλου .

( Θεωρήστε ως αρχή των αξόνων το , και άξονα την ευθεία ) .

Σημείωση : το πρώτο ερώτημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για αυτή .

Για το β). Η

τέμνει τον κύκλο (K)

κατά σειρά στα σημεία F, E.

Είναι $\displaystyle AF \cdot AE = AB \cdot AN = 180$

Είναι ακόμα, $\displaystyle FL \cdot LE = PL \cdot LT = AL \cdot LB \Leftrightarrow$ $\boxed{FL\cdot LE=9}$ (1)

: Κύκλος και κέντρο.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

$\displaystyle AF \cdot AE = 180 \Leftrightarrow (9 - FL)(9 + LE) = 180\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{LE-FL=12}$ (2)

Από

είναι $\displaystyle FL = -6+3\sqrt 5 ,LE = 6 + 3\sqrt 5 \Rightarrow FE = 6\sqrt 5 \Leftrightarrow FM = 3\sqrt 5$

$\displaystyle OM = OF + FM = 4-(-6+ 3\sqrt 5) + 3\sqrt 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{OM=10}$

Κύκλος και κέντρο

Κύκλος και κέντρο

Re: Κύκλος και κέντρο

Re: Κύκλος και κέντρο

Re: Κύκλος και κέντρο

Re: Κύκλος και κέντρο

Μέλη σε σύνδεση