Κατασκευή ειδικού τριγώνου

#1

: Κατασκευή ειδικού τριγώνου.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο

,

τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 4:41 pm
Κατασκευή ειδικού τριγώνου.png

Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο ,

τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό.

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα SAB, SAC

παίρνω:

: Κατασκευή ειδικού τριγώνου.Φ.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 9 = 4 + {b^2} - 4b\sin \theta \hfill \\ 1 = 4 + {b^2} - 4b\cos \theta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin \theta = \frac{{{b^2} - 5}}{{4b}} \hfill \\ \hfill \\ \cos \theta = \frac{{{b^2} + 3}}{{4b}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και επειδή $\displaystyle {\sin ^2}\theta + {\cos ^2}\theta = 1$

καταλήγω στην εξίσωση b^4-10b^2+17=0,

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{b = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 }}$

Το τμήμα

κατασκευάζεται, άρα και το τρίγωνο.

S.E.Louridas · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 4:41 pm
Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό.

Ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί:

Το τρίγωνο κατασκευάζεται επομένως και το τρίγωνο άρα και το ζητούμενο τρίγωνο

Ας αναφέρουμε ότι: ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {1^2} = {3^2},$ άρα παίρνουμε: $\displaystyle{\angle BPS = \frac{\pi }{2}.}$

Θα επανέρθω αν χρειαστεί για περισσότερο "άπλωμα" της λύσης.

: Doloros.png (45.72 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

#4

Ευχαριστώ για τις λύσεις σας . Η μετρική του Γιώργου πολύ ωραία με χρήση και τριγωνομετρίας .

Η δική μου έχει μια παρόμοια κίνηση με του Σωτήρη ( Κατασκευή τριγώνου από δυο πλευρές και τη γωνία τους ).

S.E.Louridas · #5

Καλημέρα.
Για να βάλουμε για λίγο και την φαντασία μας σε δουλειά.

Σε τυχόν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ${A_1}{B_1}{C_1}\;\left( {{A_1}{B_1} = {A_1}{C_1}} \right)$ προσδιορίζεται στο εσωτερικό του σημείο ως τομή δύο

Απολλώνιων κύκλων, ο πρώτος με βάση την πλευρά και λόγο και ο άλλος με βάση τη πλευρά και λόγο $\frac{3}{2}.$

Έτσι έχουμε πλέον τις γωνίες $\angle SAB = \angle {S_1}{A_1}{B_1},\,\;\angle SBA = \angle {S_1}{B_1}{A_1},$ άρα και το σημείο

S.E.Louridas · #6

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 11:21 am

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 4:41 pm
Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο ,τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό.
Καλημέρα.
Για να βάλουμε για λίγο και την φαντασία μας σε δουλειά.

Σε τυχόν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ${A_1}{B_1}{C_1}\;\left( {{A_1}{B_1} = {A_1}{C_1}} \right)$ προσδιορίζεται στο εσωτερικό του σημείο ως τομή δύο

Απολλώνιων κύκλων, ο πρώτος με βάση την πλευρά και λόγο και ο άλλος με βάση τη πλευρά και λόγο $\displaystyle{\frac{3}{2}.}$

Έτσι έχουμε πλέον τις γωνίες $\angle SAB = \angle {S_1}{A_1}{B_1},\,\;\angle SBA = \angle {S_1}{B_1}{A_1},$ άρα και το σημείο

doloros2.png (30.64 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

#7

Κατασκευή - Απόδειξη
.

: Κατασκευή ειδικού τριγώνου_Λύση.png (34.09 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

.
Κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές $\vartriangle SJC$ με SC = SJ = 1

. Στο

κι έξω από το $\vartriangle SJC$ θεωρώ τμήμα SA = 2

και $\widehat {CSA} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {ASJ} = 135^\circ$ .

Άρα το $\vartriangle AJC$ είναι ισοσκελές τρίγωνο με $AC = AJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,JC = \sqrt 2$ . Στο

και επί την

φέρνω κάθετο τμήμα : AB = AC

.

Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω .

Το

ανήκει σε τεταρτοκύκλιο συνεπώς $\widehat {CJB} = 135^\circ$ . Τώρα προκύπτει : $\vartriangle JCB \approx \vartriangle SCB$ .

Θα είναι δε $JB = SA\sqrt 2 = 2\sqrt 2$ και από το Π. Θ. στο $\vartriangle JSB$ θα είναι $\boxed{SB = \sqrt {1 + 8} = 3}$

duamba · #8

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 4:41 pm
Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο ,
τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό.

Καλησπέρα,

Το πρόβλημα με ταλαιπώρησε, ξενύχτησα και λίγο, τελικά η κατασκευή επετεύχθη (όχι χωρίς την βοήθεια όλων των λογισμικών του ίντερνετ).

Ακολουθεί ερασιτεχνική λύση:

: trig123.jpg (33.16 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Κατασκευάζω τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο

και ακτίνες 1,2,3 αντίστοιχα.
Ψάχνω ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο το οποίο θα έχει μια κορυφή στον κύκλο (S,3)

, μία στον (S,2)

και μία στον (S,1)

.

Ξεκινάω με δύο τυχαία σημεία

και

, ένα στον εξωτερικό και ένα στον μεσαίο κύκλο.
Κατασκευάζω ορθή γωνία με πλευρές BH = HF

.
Ο γεωμετρικός τόπος του

καθώς το

μένει σταθερό και το

κινείται στον μεσαίο κύκλο (S,2)

είναι ο κύκλος με κέντρο

και ακτίνα

, οπου το

είναι το

περιστραμμένο κατά $\frac{\pi}{2}$ ακτίνια.
(Για την κατασκευή του γεωμετρικού τόπου χρειάστηκα την βοήθεια του ίντερνετ, η απόδειξη που διάβασα χρησιμοποιεί άλγεβρα).

Εκεί που ο κύκλος (G,GF)

τέμνει τον κύκλο (S,1)

είναι το σημείο

του ζητούμενου τετραγώνου.
Mεταφέρω την γωνία $\angle CGF$ με σταθερό διαβήτη στην κορυφή

με βάση

για να βρώ την τελευταία κορυφή

του ζητούμενου τετραγώνου.

Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Re: Κατασκευή ειδικού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση