Δύσκολη ισότητα

KARKAR · #1

: Δύσκολη ισότητα.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB = AC )

, φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος

,

τμήματα τα οποία τέμνουν την διχοτόμο

στα σημεία

και

αντίστοιχα . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε το τρίγωνο αυτό , με τρόπο ώστε να προκύψει : ST=TD

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 12:33 pm
Δύσκολη ισότητα.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , φέρουμε την διάμεσο και το ύψος ,

τμήματα τα οποία τέμνουν την διχοτόμο στα σημεία και αντίστοιχα . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε το τρίγωνο αυτό , με τρόπο ώστε να προκύψει : ;

Το

είναι το βαρύκεντρο του ισοσκελούς, άρα $\displaystyle SD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{6}\sqrt {4{b^2} - {a^2}}.$ Δίνεται λοιπόν ότι $\displaystyle TD = \frac{{SD}}{2} = \frac{1}{{12}}\sqrt {4{b^2} - {a^2}} .$

: Δύσκολη ισότητα.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Από 2ο θεώρημα διαμέσου είναι, $\displaystyle {b^2} - {a^2} = 2b \cdot EM \Leftrightarrow EM = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}$ και $\displaystyle EC = \frac{b}{2} - EM = \frac{{{a^2}}}{{2b}}.$

Με Π. Θ τώρα βρίσκω $\displaystyle BE = \frac{a}{{2b}}\sqrt {4{b^2} - {a^2}} .$ Τέλος, από την ομοιότητα των τριγώνων BTD, BCE

έχω:

$\displaystyle \frac{{TD}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{BE}}$ και με αντικατάσταση, $\displaystyle \frac{{b\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{6{a^2}}} = \frac{{b}}{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }} \Leftrightarrow 7{a^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}}$

Το τρίγωνο λοιπόν κατασκευάζεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 12:33 pm
Δύσκολη ισότητα.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , φέρουμε την διάμεσο και το ύψος ,

τμήματα τα οποία τέμνουν την διχοτόμο στα σημεία και αντίστοιχα . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε το τρίγωνο αυτό , με τρόπο ώστε να προκύψει : ;

Είναι $TD= \dfrac{1}{2}. \dfrac{ \mu _{a} }{3}= \dfrac{ \mu _{a} }{6}$ και λόγω ισότητας των γωνιών $\theta$ έχουμε

$BD^2=DT.DA \Rightarrow \dfrac{a^2}{4}= \dfrac{ \mu _{a}^2 }{6} \Rightarrow 6a^2=4b^2-a^2 \Rightarrow \dfrac{b}{a}= \dfrac{ \sqrt{7} }{2}$

: δύσκολη ισότητα.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 12:33 pm
Δύσκολη ισότητα.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , φέρουμε την διάμεσο και το ύψος ,

τμήματα τα οποία τέμνουν την διχοτόμο στα σημεία και αντίστοιχα . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε το τρίγωνο αυτό , με τρόπο ώστε να προκύψει : ;

: Δύσκολη ισότητα_ανάλυση.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Το

είναι το βαρύκεντρο του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ .

Ας είναι λοιπόν

το συμμετρικό του

ως προς το

. Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου BDEA

θα έχω :

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ και αφού $CA\,//ZB$ $\widehat {{a_1}} = \widehat {Z_{}^{}}$ συνεπώς , $\widehat {{a_2}} = \widehat {Z_{}^{}}$ . Ενώ αν θέσω , DT = k

θα είναι : $SA = 4k\,\,,\,\,ZD = DA = 6k$ .

Κατασκευή .

: Δύσκολη ισότητα_εύκολη κατασκευή.png (15.03 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ZA = 12k

με μέσο το

. στο

θεωρώ σημείο

με

.

Γράφω κύκλο διαμέτρου

και την κάθετο στο

που τον τέμνει στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ . Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω .

Λόγω της ανάλυσης η απόδειξη είναι προφανής .

Μπορώ να κατασκευάσω άπειρα όμοια τρίγωνα με τις προδιαγραφές της εκφώνησης .

Οι όποιες μετρήσεις ζητηθούν προκύπτουν εύκολα ως έκφραση του επιλεγέντος μήκους ,

.

Π.χ. στο σχήμα που παραθέτω επέλεξα k = 1

.

Δύσκολη ισότητα

Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση