Οι νικητές του 21

KARKAR · #1

Στη διάμετρο

ενός ημικυκλίου βρίσκεται σημείο

, ώστε :

. Κατασκευάστε

τρίγωνο SPT

, με τα

σημεία του τόξου και τέτοια ώστε : PT=8

και : $\widehat{ASP}=\widehat{BST}$ .

Υπολογίστε τώρα το γινόμενο : $SP\cdot ST$ . Όσο λιγότερος Καρτέσιος , τόσο το καλύτερο

#2

Καλημέρα σε όλους. Όλοι πετυχαίνουν

.

Έστω

συμμετρικό του

ως προς

.

Οπότε $SP \cdot ST = SP \cdot ST' = SA \cdot SB = 21$ , ανεξαρτήτως της θέσης του

.

#3

Ανάλυση .

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο και

το σημείο τομής της

με το κάτω ημικύκλιο . Ας είναι και

το μέσο του

.

Επειδή $MN//\overline {FST}$ θα είναι $\vartriangle MPO \approx \vartriangle NSP$ . Αν φέρω στο

εφαπτομένη του ημικυκλίου και την τμήση η

στο

θα είναι :

$\boxed{\frac{{DB}}{{SB}} = \frac{{OM}}{{MP}} = \frac{3}{4} \Rightarrow DB = \frac{9}{4}}$ τα υπόλοιπα στο σχήμα της κατασκευής .
.

KARKAR · #4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 02, 2022 9:43 am

$\boxed{\dfrac{DB}{SB} }= \dfrac{OM}{MP} = \dfrac{3}{4}$

Η γωνία $\phi$ ( και η ίση της $\theta$ ) , έχει εφαπτομένη $\dfrac{3}{4}$ , όπως βρήκε ο Νίκος . Μπορούμε

να δείξουμε ότι άσχετα από τη θέση του

, εφόσον διατηρούμε σταθερές τις ίσες $\phi , \theta$ ,

η χορδή

θα έχει μήκος

, αλλά βέβαια το $SP \cdot ST$ θα αλλάξει ( πάει το

)