Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png (10 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς τη διάμετρο AB=2R

ενός ημικυκλίου .

Οι εφαπτόμενες στα C,D

τέμνονται στο σημείο

, ενώ οι ευθείες AB,SD

τέμνονται στο

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SCBP

.

Σχόλιο : Το ελάχιστο εμβαδόν ισούται με R^2

, αλλά δεν έχω λύση χωρίς χρήση λογισμικού

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο ενός ημικυκλίου .

Οι εφαπτόμενες στα τέμνονται στο σημείο , ενώ οι ευθείες

τέμνονται στο . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Σχόλιο : Το ελάχιστο εμβαδόν ισούται με , αλλά δεν έχω λύση χωρίς χρήση λογισμικού

Και η δική μου λύση με χρήση λογισμικού είναι. Γράφω τα κύρια σημεία γιατί έχει πολλές πράξεις.

: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Θέτω

.
$\displaystyle{(SCBP) = (STP) - (CTB) \Leftrightarrow }$ $\boxed{(SCBP) = a(R + x) - \frac{{b(2R + x)}}{2}}$ (1)

$\displaystyle{C{M^2} = O{E^2} \Leftrightarrow SM \cdot MD = {R^2} - {b^2} \Leftrightarrow (a - b)b = {R^2} - {b^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{R^2=ab}$ (2)

$\displaystyle{\frac{b}{a} = \frac{{TE}}{{TO}} \Leftrightarrow \frac{b}{{a - b}} = \frac{{TE}}{{EO}} = \frac{{T{C^2}}}{{C{O^2}}} = \frac{{x(x + 2R)}}{{{R^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{b}{a} = \frac{{x(x + 2R)}}{{{{(x + R)}^2}}}}$ (3)

Από

βρίσκω, $\displaystyle{a = \frac{{R(x + R)}}{{\sqrt {x(x + 2R)} }},b = \frac{{R\sqrt {x(x + 2R)} }}{{x + R}}}$ και αντικαθιστώντας στην (1)

:

$\displaystyle{(SCBP) = f(x) = \frac{{R{{(x + R)}^2}}}{{\sqrt {x(x + 2R)} }} - \frac{{(2R + x)\sqrt {x(x + 2R)} }}{{2(x + R)}}}, x>0$ . Εδώ είναι που υπεισέρχεται το λογισμικό και

δίνει ελάχιστο $\boxed{{(SCBP)_{\min }} = {R^2}}$ για $\boxed{x = \frac{R}{3}\left( {\sqrt[3]{{19 + 3\sqrt {33} }} + \sqrt[3]{{19 - 3\sqrt {33} }} - 2} \right)}$

Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση