Μέγιστη γωνία

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1335 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

. Ονομάζω

το μέσο

του

. Για ποια θέση του

, μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{ABM}$ ;

dimplak · #2

Καλησπέρα!

Θεωρούμε το ορθοκανονικό σύστημα Oxy

και τα σημεία B(0,0)

,

με

,

και $a \le b \le 0$ . Τότε $M \left ( \frac{a+b}{2} , \frac{c}{2} \right )$ .

$\vec{BM} = \left ( \frac{a+b}{2} , \frac{c}{2} \right )$ και $\vec{BA} = (a,0)$ .

$cos \theta = \frac{ \vec{BM} \cdot \vec{BA} }{ |\vec{BM}| \cdot |\vec{BA} |} = ... = \frac{ - (a + b)}{\sqrt{ (a + b)^2 + c^2}}$ (1)

.

Όμως ισχύει ότι $B \hat{S} A = 90^o$ άρα $\vec{BS} \cdot \vec{SA} = 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow b^2 + c^2 = ab$ (2)

.

H

με βάση τη (2)

γίνεται $cos \theta = \frac{ - (a + b)}{\sqrt{a^2 + 3ab}}$

Άρα $cos^2 \theta = \frac{ (a +b)^2}{a^2 + 3ab} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow sin^2 \theta = \frac{a^2 +3ab - (a - 3b)^2}{9(a^2 + 3ab)}$

Οπότε $sin^2 \theta \le \frac{a^2 +3ab}{9(a^2 + 3ab)} = \frac{1}{9}$ ή $sin \theta \le \frac{1}{3}$ , δηλαδή το $sin \theta$ μεγιστοποιείται όταν (a - 3b)^2 = 0

ή $b = \frac{a}{3}$ , άρα και η $\theta$ μεγιστοποιείται όταν $b = \frac{a}{3}$ .

Επομένως για $b = \frac{a}{3}$ προκύπτει και $c = \frac{- \sqrt{8} a}{3}$ άρα $S \left ( \frac{a}{3} , \frac{- \sqrt{8} a}{3} \right )$ .

#3

KARKAR έγραψε:Μέγιστη γωνία.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ονομάζω το μέσο
του . Για ποια θέση του , μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{ABM}$ ;

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Ο γεωμετρικός τόπος του από την ομοιοθεσία με κέντρο και λόγο $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}$ θα είναι (καθώς το διατρέχει το ημικύκλιο διαμέτρου

θα είναι το ημικύκλιο διαμέτρου και συνεπώς η μέγιστη γωνία $\theta =\angle ABM$ θα επιτυγχάνεται αν είναι εφαπτόμενη του ημικυκλίου $\left( K \right)$ άρα το

${S_{\max \left( \theta \right)}} \equiv AM \cap \left( O \right),S \ne A$ με εφαπτομενικό τμήμα του ημικυκλίου $\left( K \right)$ και η θέση του με τις προϋποθέσεις του προβλήματος έχει προσδιοριστεί

Στάθης

Y.S. Ακριβώς ίδιος τρόπος αντιμετώπισης αν η είναι τυχούσα χορδή κύκλου και ο λόγος $\dfrac{{AM}}{{MS}} = \lambda = ct$

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
KARKAR έγραψε:Μέγιστη γωνία.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ονομάζω το μέσο
του . Για ποια θέση του , μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{ABM}$ ;
Μεγιστοποίηση γωνίας.png
Ο γεωμετρικός τόπος του από την ομοιοθεσία με κέντρο και λόγο $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}$ θα είναι (καθώς το διατρέχει το ημικύκλιο διαμέτρου

θα είναι το ημικύκλιο διαμέτρου και συνεπώς η μέγιστη γωνία $\theta =\angle ABM$ θα επιτυγχάνεται αν είναι εφαπτόμενη του ημικυκλίου $\left( K \right)$ άρα το

${S_{\max \left( \theta \right)}} \equiv AM \cap \left( O \right),S \ne A$ με εφαπτομενικό τμήμα του ημικυκλίου $\left( K \right)$ και η θέση του με τις προϋποθέσεις του προβλήματος έχει προσδιοριστεί

Στάθης

Y.S. Ακριβώς ίδιος τρόπος αντιμετώπισης αν η είναι τυχούσα χορδή κύκλου και ο λόγος $\dfrac{{AM}}{{MS}} = \lambda = ct$

Τόσο απλό και τόσο ωραίο

KARKAR · #5

: Μέγιστη γωνία - κατασκευή.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 1244 φορές

...και γίνεται ακόμη πιο εντυπωσιακό , προτείνοντας την παρακάτω κατασκευή :

Σε σημείο

, με

, φέρω κάθετη , η οποία τέμνει το τόξο στο ζητούμενο σημείο

Αυτό προκύπτει από το λήμμα το οποίο βρίσκεται σαν αυτόνομη άσκηση εδώ

#6

Εύχομαι σε όλους Καλήν Ημέρα, Περηφάνειας και Συλλογισμού.

Μια ακόμα αντιμετώπιση, δίχως τη φαντασία και τη διορατικότητα του Στάθη, αλλά απλή και εύχρηστη σε μια τάξη με ερευνητικό ενδιαφέρον (αν αυτή υπάρχει...).

: 28-10-2016 Γεωμετρία.jpg (12.64 KiB) Προβλήθηκε 1227 φορές

Έστω

η ακτίνα του κύκλου.

Είναι $\displaystyle M\left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu t - 1}}{2},\frac{{\eta \mu t}}{2}} \right)$ με $\displaystyle 0 \le t \le \pi$ , οπότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu t \le 1,\;\;\eta \mu t \ge 0$ .

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{\frac{{\eta \mu t}}{2}}}{{\left| {1 - \frac{{\sigma \upsilon \nu t - 1}}{2}} \right|}} = \frac{{\eta \mu t}}{{3 - \sigma \upsilon \nu t}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}}{{3 - \sigma \upsilon \nu x}},\;\;x \in \left[ {0,\;\pi } \right]$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{3\sigma \upsilon \nu x - 1}}{{{{\left( {3 - \sigma \upsilon \nu x} \right)}^2}}}$ .

Με τη μελέτη του προσήμου της, βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{3}$ .

Επιλέγουμε, λοιπόν, $\displaystyle S\left( {\frac{1}{3},\;\frac{{\sqrt 8 }}{3}} \right)$ .

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑΣ με τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΛΥΣΗ του ΣΤΑΘΗ:
Παρατηρώ, τότε, ότι $\displaystyle B{M^2} = {\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = 2$ και $\displaystyle BO \cdot BA = 1 \cdot 2 = 2$ , άρα η

είναι εφαπτομένη του ημικυκλίου διαμέτρου

.

dimplak · #7

dimplak έγραψε:Καλησπέρα!

Θεωρούμε το ορθοκανονικό σύστημα και τα σημεία , , με ,

και $a \le b \le 0$ . Τότε $M \left ( \frac{a+b}{2} , \frac{c}{2} \right )$ .

$\vec{BM} = \left ( \frac{a+b}{2} , \frac{c}{2} \right )$ και $\vec{BA} = (a,0)$ .

$cos \theta = \frac{ \vec{BM} \cdot \vec{BA} }{ |\vec{BM}| \cdot |\vec{BA} |} = ... = \frac{ - (a + b)}{\sqrt{ (a + b)^2 + c^2}}$ .

Όμως ισχύει ότι $B \hat{S} A = 90^o$ άρα $\vec{BS} \cdot \vec{SA} = 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow b^2 + c^2 = ab$ .

H με βάση τη γίνεται $cos \theta = \frac{ - (a + b)}{\sqrt{a^2 + 3ab}}$

Άρα $cos^2 \theta = \frac{ (a +b)^2}{a^2 + 3ab} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow sin^2 \theta = \frac{a^2 +3ab - (a - 3b)^2}{9(a^2 + 3ab)}$

Οπότε $sin^2 \theta \le \frac{a^2 +3ab}{9(a^2 + 3ab)} = \frac{1}{9}$ ή $sin \theta \le \frac{1}{3}$ , δηλαδή το $sin \theta$ μεγιστοποιείται όταν ή $b = \frac{a}{3}$ , άρα και η $\theta$ μεγιστοποιείται όταν $b = \frac{a}{3}$ .

Επομένως για $b = \frac{a}{3}$ προκύπτει και $c = \frac{- \sqrt{8} a}{3}$ άρα $S \left ( \frac{a}{3} , \frac{- \sqrt{8} a}{3} \right )$ .

Παραθέτω πάλι διορθωμένη τη λύση μετά από πολλές διορθώσεις! Διδακτικά, ήθελα να δώσω λύση μόνο με εργαλεία της σχολικής ύλης

της Α και Β Λυκείου!

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον κ. Στάθη για τις επισημάνσεις!

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση