Ο τυχερός

[KARKAR]

Ο τυχερός.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές

Από σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

[Μιχάλης Νάννος]

Από σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

2026-02-22_08-31-51.jpg (38.65 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

τυχερός.png (19.81 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

.
Έστω, γενικότερα, η ακτίνα του κύκλου. Φέρνουμε . Είναι τότε

, οπότε και .

Θέτουμε . Είναι τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο , , από όπου .

Συνεπώς οπότε βρίσκουμε το ζητούμενο σημείο , συγκεκριμένα είναι σε απόσταση από το ίση με

. Eδώ

Edit: Με πρόλαβε ο Μιχάλης όσο έγραφα, με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο. Σήμερα το mathematica είναι απίστευτα αργό στο να φορτώσει.

[Nikitas K.]

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

Διόρθωση: εδώ

Ο τυχερός.png (32.17 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νικήτα, μπορείς σε παρακαλώ να εξηγήσεις πιο αναλυτικά πώς το βρήκες αυτό; Ο ίδιος δεν πιστεύω ότι είναι σωστό γιατί τότε το ορθογώνιο τρίγωνο θα ήταν ισοσκελές, με . O ίδιος όμως βρίσκω .

[Doloros]

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

Κατασκευή

Έστω κύκλος μ και χορδή του . Ας είναι και το μέσο του .

Το συμμετρικό του ως προς το έστω . Προφανώς .

Ο Τυχερός_Κατασκευή.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Η κάθετη στο επί την τέμνει τον κύκλο στο , ( τα προς την ίδια μεριά της )

Προφανώς το είναι εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου , άρα το συμμετρικό, του ως προς το είναι το σημείο που θέλω .

Παρατήρηση ,

Οι 2 πρώτες λύσεις είναι οι ενδεδειγμένες .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

Έστω αντιδιαμετρικό του και

Επειδή είναι ισοσκελές τραπέζιο ,τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους ,όπως και τα μπλε.

Επομένως παραλ/μμο,άρα και παραλ/μμο,συνεπώς και

Άρα κι από

Π.Θ στο

Ο τυχερός.png (21.23 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

[Nikitas K.]

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποια θέση του , είναι : ; ( το μέσο του ) .

Διόρθωση: εδώ
Ο τυχερός.png

Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο με κέντρο και τυχαία ακτίνα έχουμε:





Στο ορθογώνιο έχουμε:



Κατασκευή:

Ο τυχερός.ggb

(34.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 4 φορές

Έστω σημείο να είναι ένα τυχαίο σημείο κύκλου κέντρου -τυχαίας ακτίνας- και να είναι μια ημιευθεία της εφαπτομένης του κύκλου που να διέρχεται από αυτό το σημείο τότε το σημείο του κύκλου θα είναι τέτοιο, ώστε και το σημείο εντοπίζεται ως το συμμετρικό σημείο του σημείου ως προς την κάθετη της ημιευθείας από το σημείο