Αντίλογος και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Αντίλογος και εφαπτομένη.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Στην κάθετη πλευρά AC=a

, του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο

ώστε : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{1}{2}$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TBC}$ , τέμνει την

στο σημείο

. α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$ .

β) Ορίζουμε το σημείο

και θεωρούμε σημείο

του

, ώστε :

. Βρείτε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 14, 2024 11:51 am
Αντίλογος και εφαπτομένη.pngΣτην κάθετη πλευρά , του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο

ώστε : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{1}{2}$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TBC}$ , τέμνει την στο σημείο . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$ .

β) Ορίζουμε το σημείο και θεωρούμε σημείο του , ώστε : . Βρείτε την : $\tan\theta$ .

α) Είναι $\displaystyle BT = \frac{{a\sqrt {10} }}{3},AM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$ και με θεώρημα διχοτόμου στο BTC:

$\displaystyle \frac{{TS}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {10} }}{3}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow \frac{{TS}}{{TC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \Leftrightarrow TS = \frac{{a\left( {3\sqrt 5 - 5} \right)}}{6}$

: Αντίλογος και εφαπτομένη.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{AT + TS}}{{TC - TS}}$ και με αντικατάσταση, $\boxed{\frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \phi }$

β) $\displaystyle AS = \frac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} = AM - PM = AP \Leftrightarrow \varphi + \theta = 90^\circ - \frac{\omega }{2}$

$\displaystyle \tan \omega = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan \frac{\omega }{2} = \sqrt 5 - 2$ και $\displaystyle \tan \varphi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$

$\displaystyle \tan (\varphi + \theta ) = \tan \left( {90^\circ - \frac{\omega }{2}} \right) = \cot \frac{\omega }{2} = \sqrt 5 + 2 \Leftrightarrow \frac{{\phi + \tan \theta }}{{1 - \phi \tan \theta }} = 2\phi + 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{\phi + 1}}{{2{\phi ^2} + \phi + 1}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\phi + 1 = {\phi ^2}}$ $\boxed{ \tan \theta = \frac{1}{3}}$

Αντίλογος και εφαπτομένη

Αντίλογος και εφαπτομένη

Re: Αντίλογος και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση