Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $AB=4, AC=8, BC=4\sqrt 7.$ I) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο

τρίγωνο που οι κορυφές του D, E, Z

να είναι σημεία των πλευρών BC, CA, AB

αντίστοιχα.

ΙΙ) Να υπολογίσετε την πλευρά και το εμβαδόν του ισοπλεύρου. Τι παρατηρείτε;

ΙΙΙ) Αν

είναι το μέσο της

να δείξετε ότι ZD||AM.

Ισχύει κάτι παρόμοιο και για τις άλλες διαμέσους;

abgd · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 10, 2022 1:21 pm
Δίνεται τρίγωνο με $AB=4, AC=8, BC=4\sqrt 7.$ I) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο

τρίγωνο που οι κορυφές του να είναι σημεία των πλευρών αντίστοιχα.

ΙΙ) Να υπολογίσετε την πλευρά και το εμβαδόν του ισοπλεύρου. Τι παρατηρείτε;

ΙΙΙ) Αν είναι το μέσο της να δείξετε ότι Ισχύει κάτι παρόμοιο και για τις άλλες διαμέσους;

: isopleyro.png (59.61 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Δεν ξέρω αν δεν πρόσεξα κάτι, ή κάνω κάποιο λάθος, αλλά βλέπω να υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα.

Από τον νόμο των συνημιτόνων υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας $\displaystyle{A}$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\hat{A}=120^0}$

Ανάλυση:
Έστω ότι το ισόπλευρο έχει κατασκευαστεί.
Το τετράπλευρο $\displaystyle{AEDZ}$ είναι εγγράψιμο οπότε $\displaystyle{\hat{DAE}=\hat{DAZ}=60^0$
και συνεπώς
η $\displaystyle{AD}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\hat{A}}$ .

Κατασκευή:
Για την κατασκευή αφού φέρουμε τη διχοτόμο $\displaystyle{AD}$ κάνουμε την εξής σκέψη:
Είναι $\displaystyle{\hat{DAE}=\hat{DAZ}=60^0$ οπότε οι κάθετες από το $\displaystyle{D}$ στις πλευρές $\displaystyle{AB,\ \ AC}$ δημιουργούν γωνία $\displaystyle{60^0}$ και είναι ίσες και έτσι το ισόπλευρο έχει κατασκευαστεί.

Διερεύνηση:
Μπορούμε να κάνουμε άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα με τον εξής τρόπο: Περιστρέφουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{DZ, DE}$ κατά γωνία $\displaystyle{\theta}$ μικρότερη των $\displaystyle{30^0}$ και έστω $\displaystyle{Z_{\theta}, E_{\theta}}$ τα σημεία στα οποία τέμνονται οι $\displaystyle{AB, \ \ AC}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα $\displaystyle{DZ_{\theta}E_{\theta}}$ είναι ισόπλευρα.

Για το αρχικό ισόπλευρο, το οποίο είναι το τρίγωνο με την μικρότερη πλευρά, είναι εύκολο να δείξουμε τα ερωτήματα ii), iii) χρησιμοποιώντας μετρικές σχέσεις.

#3

abgd έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 12, 2022 7:30 pm

Δεν ξέρω αν δεν πρόσεξα κάτι, ή κάνω κάποιο λάθος, αλλά βλέπω να υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα.

Πράγματι υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία

Τα ερωτήματα ΙΙ) και ΙΙΙ) αναφέρονται στο ισόπλευρο που φαίνεται στο σχήμα (με δύο πλευρές κάθετες στις AB, AC

).

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση